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A. Variables aléatoires discrètes sur un univers fini 1. Convention d’écriture

A. Variables aléatoires discrètes sur un univers fini 1. Convention d’écriture Soit Ω = {ω1,...,ωN} un univers fini probabilisé. On appelle variable aléatoire, notée X, définie sur Ω toute application de Ω dans R. On note X(Ω) = {x1,…,xn} (n appartient à N) l’ensemble image de Ω par X. X = xi est la partie de Ω formées de toutes les éventualités ωk ayant pour image x i. Il y en a n, formant une partition de Ω. X > x est la partie de Ω formée de toutes les éventualités dont le nombre image est supérieur strictement à x. x < =X<= y est la partie de Ω formée de toutes les éventualités dont le nombre image est compris entre x et y. 2. Loi de probabilité Soit Ω un univers fini probabilisé st X une variable aléatoire sur Ω. On appelle loi de probabilité de X, l’application qui à chaque valeur image x i fait correspondre la probabilité pi de la partie (X = xi) de Ω. On la représente alors sous forme d’un tableau : X = xi x1 x2 … xi … xn p(X=xi) p1 p2 … pi … pn On a donc p(Ω) = pi i=1 n ∑ = 1. 3. Fonction de répartition On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X, l’application F de dans [0 ; 1] qui associe à tout réel x la probabilité p(X < x) c’est à dire F(x) = p(X < x). Elle est croissante, continue par morceau et en escalier. De plus on a : p(X > x) = 1 - F(x) et p(x < X < y) = F(y) - F(x). 4. Valeurs caractéristiques d’une variable aléatoire à valeurs discrètes Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs {x1…xn} avec les probabilités respectives {p1…pn}. a) Espérance On appelle espérance mathématique de X le nombre E(X) = pixi i=1 n ∑ . Ce nombre s’interprète comme la moyenne m des valeurs x i pondérées par leur probabilité pi. 13 b) Propriétés Soit k une constante alors : E(k) = k E(X + k) = E(X) + k E(kX) = kE(X) c) Variance et écart-type On appelle variance de X le nombre V (X) = p ixi 2 i=1 n ∑ −E(X) ( ) 2 . L’écart-type est : σ(X) = V(X) d) Propriétés Soit k une constante alors : V (k) V (X + k) = V(X) V (kX) = k 2V(X) 5. Exemple Contre une mise convenable, on lance un dé marqué as, roi, dame, valet, dix et neuf. L’as rapporte 10 F Le roi et la dame 6 F Le valet 5 F le 10 et le 9 rien Loi de probabilité X = xi 0 5 6 10 pi 1/3 1/6 1/3 1/6 Fonction de répartition F 14 0.4 0.8 E(X)=4,5 V(X)=12,58 et σ(X)=3,55 6. Loi binomiale Une variable aléatoire X à valeurs entières : 0,1 , 2 , …n suit une loi binomiale de paramètres n et p si et seulement si pour tout k appartenant à {1,…,n} on a : p(X = k) = Cn kp kq n−k . On l’utilise chaque fois qu’une même expérience a 2 éventualités. Elle est notée B(n,p). Son espérance est alors E(X) = np, sa variance V(X) = npq. B. Variables aléatoires dénombrables sur un univers infini 1. Loi de Poisson Une variable aléatoire dénombrable(c’est à dire établissant une bijection avec Õ) X suit une loi de Poisson de paramètre m (m > 0) sis et seulement si : p(X = k) = e −m m k k! . Son espérance est E(X)=m, sa variance V(X) = k. C. Variables aléatoires continues 1. Définition Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire X dont l’ensemble des valeurs est ou un intervalle I de . Une telle variable est généralement définie par sa fonction de répartition F :x a F(x) = p(X ≤x). 15 2. Fonction densité de probabilité On désigne par fonction densité de probabilité, la fonction dérivée f de la fonction de répartition F. On alors : f(x)dx = F(x) et f (x)dx a b ∫ = F(b) −F(a) = p(a ≤X ≤b) ∫ . c’est à dire que l’aire mesurée entre les droites d’équation x = a et x = b, la courbe représentative de f et l’axe des abscisses correspond à p(a < x < b). On a f (x)dx −∞ a ∫ = F(a) = p(X ≤a) f(x)dx a +∞ ∫ =1−F(a) = p(X ≥a) = 1−p(X < a) f(x)dx −∞ +∞ ∫ =1 4 8 12 16 -0.1 0 0.1 x=a x=b p(aŠxŠb) Cf 3. Valeurs caractéristiques Soit X une variable aléatoire continue alors on a : E(X) = xf(x)dx −∞ +∞ ∫ V (X) = f (x) x−E(X) [ ] 2 dx −∞ +∞ ∫ = E(X2 ) −E(X) [ ] 2 16 D. La loi normale ou loi de Laplace-Gauss 1. Définition Une variable aléatoire X suit une loi normale N(m;σ) de paramètres m et σ lorsque sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par : f(x) = 1 σ 2π e −1 2 x −m σ       2 . Cette loi est souvent qualifiée de loi du hasard ; elle est très fréquente dans des mesures répétées d’une même grandeur. On a alors : E(X) = m et V(X) = σ2 4 8 12 16 -0.1 0 0.1 Cf m=12 et σ =3 2. La loi normale centrée réduite Si une variable aléatoire suit la loi normale N(m;σ) il est difficile de calculer F(x) pour n’importe quel x; Il existe alors une loi qui est tabulée qui nous permet grâce aux théorème suivant de calculer facilement F(x) pour N(m;σ) . a) Théorème : si une variable aléatoire X suit une loi normale N(m;σ) alors la variable aléatoire T = X −m σ suit la loi normale centrée réduite N(0;1). Sa fonction de répartition est notée π( x) = f (t)dt −∞ x ∫ avec f(x) = 1 2π e −x 2 2 Sa lecture se fait grâce à une table (cf annexe). 17 -4 -2 2 4 0 0.2 0.4 š(t) b) Exemples de calculs p(T < 1,67)=π(1,67)=0,9525 p(T > 1,25)=1-p(T < 1,25)=1-0,8944=0,1056 p(T < -1,67)=p(T > 1,67)=1-p(T < 1,67) p(-t < T < t)=2π(t) - 1 3. Carte de contrôle Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(m;σ) alors T = X −m σ suit une loi normale centrée réduite N(0 ; 1) d’où p(m −σ < X < m + σ) = p(−1 < T <1) = 2π(1) −1= 0,64 = 64% p(m −2σ < X < m + 2σ) = p(−2 < T < 2) = 2π(2) −1= 0,96 = 96% p(m −3σ < X < m + 3σ) = p(−3 < T < 3) = 2π(3) −1= 0,998 = 99,8% ce que l’on représente sous forme de carte de contrôle : m 64% 96% 99,8% zone de déreglement zone de danger zone de déreglement zone de danger 18 4. Approximation des lois Dans certaines conditions on peut par commodité approximer certaines lois par une loi normale: on a B(n,p) ≈P(np ) si p < 0,1 npq ≤10 et n > 30 B(n,p) ≈ℵ(np , npq ) si npq >10 et n ≥50 P(m) ≈ℵ(m, m) si m > 20 E. D’autres exemples de lois continues La loi uniforme ; son graphe de densité de probabilité est donné par le graphe : -1 1 2 3 -1 -0.5 0 0.5 La loi triangulaire : elle est donnée par son graphe fonction densité de probabilité : a b 1/(b-a) 19 1 2 3 2/(b-a) a b uploads/Litterature/ variables-aleatoires-et-lois-de-probabilite.pdf