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INTEGRALE DE LEBESGUE-ESPACES FONCTIONNELS Introduction: L’intégrale de Riemann

INTEGRALE DE LEBESGUE-ESPACES FONCTIONNELS Introduction: L’intégrale de Riemann avait montré ses limites,d’abord sur le champ des fonctions inté- grables(assez restreint) et surtout sur les permutations des limites avec les intégrales. Henri Léon Lebesgue(1875-1941) dé…nit dans sa thèse intitulée:” Intégrale,longueur avec une nouvelle méthode de sommation” appelée depuis intégrale de Lebesgue et qui est con- sidérée come l’une des réussites de l’analyse mathématique moderne. Dans la théorie de Lebesgue, les théorèmes de permutation de limite avec intégrale ont un énnocé très simple et surtout très puissants.En outre,par sa nature même,l’intégrale de Lebesgue est adapté aux fonctions d’une seule variable que de plusieurs.Le revers est que sa présentation réclame de longs préliminaires théoriques. C’est toujours un problème dans l’enseignement actuel d’essayer d’introduire le plutot possi- ble l’intégrale de Lebesgue de façon à mettre ce formidable outil à la disposition des Sciences de l’Ingénieur. L’intégrale de Lebesgue a considérablement simpli…é et ampli…é l’étude des séries trigonométriques et plus généralement toute l’analyse de Fourier et le champ des Probabilités. I Intégrale de Lebesgue L’intégralede Lebesgue est fondée non pas sur les fonctions continues par morçeaux mais sur la classe plus large de fonctions appelées ”mesurables” qui seront dé…nies dans le présent chapitre.L’avantage est que le champ des fonctions intégrables va être considérablement élargi.Des fonctions très discontinues comme l’indicatrice de l’ensemble des nombres ra- tionnels va être intégrable. Dé…nition d’une tribu : Dé…nition: Un ensemble ¿ de parties de RN est appelé tribu lorsqu’il posséde les propriétés suivantes: 1)-Si une suite de parties de RN (An)n¸1 (A1; A2; :::; An) 2 ¿ , alors 1 F n=1 An 2 ¿ . 2)-Si A 2 ¿, alors:(RN n A) 2 ¿ . Conclusion: Une tribu est un ensemble de parties de RN stable par réunion dénombrable et par passage au complémentaire. Proposition:Soit S Un ensemble de parties de RN ,on considère toutes les tribus ¿i contenant S alors ¿ = \ S½¿i ¿i est une tribu appelée tribu engendrée par S. Dé…nition de la tribu Borelienne: Si on prend S = © parties ouvertes de RNª alors ¿ = \ S½¿i ¿i est une tribu appelée la tribu Borellienne de RN:On la note BN : 1 Dé…nition : Soit ¿ une tribu de RN;une mesure sur RN est une application ¸ : ¿ ¡ ! [0; +1] telque :¸( 1 [ i=1 Ai) = +1 X i=1 ¸(Ai) (les Ai sont des parties de RN deux à deux disjoinctes). Dé…nition de la mesure de Lesbegue sur RN Si On prend BN la tribu Borelienne de RN;la mesure de Lesbegue est l’unique mesure ¸ telle que: ¸([a1; b1] £ ::: £ [aN; bN]) = N Y i=1 (bi ¡ ai) : Dé…nition: Soit P une propriet On dit que P est véri…ée presque partout si ¸ (N) = 0 où ¸ est la mesure de Lesbegue sur RN: Dé…nition d’une fonction étagée : Soit f une fonction dé…nie sur RN à valeurs dans R ,on dit que f est étagée,si : 1)-9A1; :::; An Boréliens de RN 2 a 2 disjoincts tels que : RN = n [ i=1 Ai 2)-f (x)= n X i=1 ¸i Y Ai(x) avec Y Ai(x) = ½ 1 si x 2 Ai 0 sinon ; Y Ai(x) est la fonction indicatrice de Ai: Dé…nition d’une fonction mesurable : Une fonction f dé…nie sur RN prenant des valeurs dans [+1; ¡1] est dite mesurable si pourtout ¸ 2 R;l’ensemble © x 2 RN=f(x) > ¸ ª appartient a la tribu borélienne BN. Proposition: 1)-Si f est mesurable alors:jfj l’est aussi. 2)-Si f et g sont mesurable alors: g + f; f £ g; ¸f et 1=f. 3)-Si fn une suite de fonctions sur RN qui converge simplement vers f sur RN;alors f est aussi mesurable. Proposition: Soit f une fonction mesurable positive sur RN ;alors: il existe une suite de fonctions étagées 2 positives fn telle que 0 · fn · f et fn converge simplement vers f sur RN. Dé…nition: Integrale d’une fonction étagée : Soit f une fonction étagée positive ,f(x) = n X i=1 ¸i Y Ai(x),l’integrale de f est la quantité notée Z RN f(x)dx = Z RN f(x1; :::; xN) dx1:::dxN et dé…nie par: Z RN f(x)dx = n X i=1 ¸i £ ¸(Ai) avec ¸(Ai) est la mesure de Lesbegue de Ai: Dé…nition: Intégrale d’une fonction mesurable: 1)Soit f une fonction mesurable positive sur RN;on choisit une suite de fonctions étagées (fn) telle que fnconverge simplement vers f sur RN:On pose alors: Z RN f (x) dx = lim n¡ !+1 Z RN fn (x) dx Cette limite est …nie ou égale a +1:Lorsqu’elleest …nie,on dit que f est integrable au sens de lesbegue. 2) Dans le cas général d’une fonction mesurable f dé…nie sur RN, on dira que f est intégrale si Z RN jf (x)j dx est …nie. 3) Soit f : RN ! C, on dira que f est mesurable (respectivement intégrable) si sa partie réelle et imaginaire sont mesurables(respectivement intégrable). 4) Soit A un ensemble Borélien et f : A ! C: On dit que f est mesurable(respectivement intégrable ) sur A si la fonction X f dé…nie par: X f (x) = ½ f(x) si x 2 A 0 sinon est intégrable. Proposition: 1)-8f; g : RN ¡ ! R; 8¸ 2 C : Z RN (f + ¸g) (x) dx = Z RN f (x) dx + ¸ Z RN g (x) dx 2)-0 · f · g = ) Z RN f (x) dx · Z RN g (x) dx: 3) Z RN jf (x)j dx = 0 , f = 0 presque partout sur RN. Proposition: 3 Soit f une fonction bornée ,positive et nulleen dehors d’un ensemble borné,alors f est inté- grable. Théoréme: 1)-Soit f : [a; b] ¡ ! R intégrable au sens de Riemann ,alors:f est integrable au sens de Lebesgue et Z b a f (x) dx = Z [a;b] f (x) dx: 2)-Soit f : ]a; b[ ¡ ! R une fonction telque Z b a jf (x)j dx est convergente,alors:f est integrable sur ]a; b[ au sens de lebesgue et on a: Z ]a;b[ f (x) dx = Z b a f (x) dx: Remarque:Une fonction peut avoir une intégrale généralisée convergente sans qu’elle soit intégrable au sens de Lebesgue.Il su¢t de considérer la fonction:f(x) = ( sin x x ) 1 si x = 0 Théoréme:Convergence dominée de Lebesgue: Soit fn une suite de fonctions intégrables telles que fn converge simplement vers f presque partout. On suppose qu’il existe une fonction g positive integrable tel que:jfn (x)j · g (x) presque pour tout x.Alors :f est intégrable et on a: lim n¡ !1 Z RN fn (x) dx = Z RN lim n¡ !1 fn (x) dx: Théoréme de Fubini: Soit f : RN £ RM ¡ ! R (x; y) ¡ ! f (x; y) une fonctionintégrable c’est à dire,telque: Z RN£RM jf (x; y)j dxdy < +1 ,alors: 1)-La fonction y 2 RM ¡ ! f (x; y) est intégrable pour x …xésauf peut être des valeursde x …xées qui forment un ensemble de mesure nulle= )La fonction F (x) = Z RM f (x; y) dy est dé…nie presque partout. 2)-La fonction x ¡ ! F (x) est intégrable sur RN ,et on a: Z RN ·Z RM f (x; y) dy ¸ dx = Z RM ·Z RN f (x; y) dx ¸ dy = Z RN£RM f (x; y) dxdy 4 Théoreme de Fubini Tonnelli:(Réciproque du Théorème de Fubini) Soit f : RN £ RM ¡ ! R mesurable telle que l’une des deux integrales Z RN ·Z RN jf (x; y)j dy ¸ dx et Z RN ·Z RN jf (x; y)j dx ¸ dy soit …nie,alors f est intégrable sur RN £ RM et on a: Z RN ·Z RM f (x; y) dy ¸ dx = Z RM ·Z RN f (x; y) dx ¸ dy = Z RN£RM f (x; y) dxdy II Application: Fonctions dé…nies par une intégrale(Intégrales dépendant d’un paramètre Soit f : (x; t) ¡ ! f (x; t) dé…nie sur ]®; ¯[ £ ]a; b[ à valeurs dans R.On suppose que pour tout x 2 ]®; ¯[ ;la fonction : F(x) = Z ]a;b[ f(x; t) dt est bien dé…nie. Théoreme de la continuité: Sous les hypothéses précédentes on suppose que f véri…e les hypothèses suivantes: 1)-f est séparement continue par rapport à x pour presque tout t2 ]a; b[ : 2)-9g > 0 intégrable sur ]a; b[ telle que:jf (x; t)j · g (t) ; 8x 2 ]®; ¯[ et presque partout par rapport à t. alors f est continue sur ]®; ¯[ : Théoréme de dérivabilité: On suppose que f : (t; x) ¡ ! f (t; x) véri…e les hypothéses suivantes: 1)-@f @x (x; t) existe pour tout x 2 ]®; ¯[ et pour presque tout t 2 ]a; b[ : 2)-@f @x (x; t) est continue par rapport à x 2 ]®; ¯[ : uploads/Litterature/ chapitre-i-integrale-de-lebesgue-et-espaces-fonctionnels-usuels-pdf.pdf