Concours National Commun Épreuve de Mathématiques I Session 2021 - Filière MP L

Concours National Commun Épreuve de Mathématiques I Session 2021 - Filière MP L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP. L’usage de tout matériel électronique, y compris La calculatrice, est interdit Durée : 4 heures Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. n convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé d’un exercice et d’un problème indépendants entre eux. Exercice (Noté 4 points sur 20 ) Soit n un entier naturel, on considère la fonction fn définie sur R par fn(x) = ( 0 si x ≤0 xne−x2 si x > 0 . 1. Vérifier que pour tout entier naturel n, fn(x) = o  1 x2  lorsque x tend vers +∞. 2. Montrer que pour tout entier naturel n , Z +∞ 0 fn(x)dx est une intégrale convergente. 3. Par la suite. on pose pour tout entier naturel n. In = Z +∞ 0 fn(x)dx et an admet que I0 = Z +∞ 0 e−x2dx = √π 2 a) Culculer I1. b) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n, In+2 = n + 1 2 In c) Montrer que pour tout entier naturel k, I2k+1 = k! 2 . d) Montrer que pour tout entier naturel k, I2k+1 = (2k)! 22k+1k! √π. Problème Pour tout entier naturel non nul n, on pose Hn = n X k=1 1 k et un = Hn −ln(n), Partie 1 Développement asymptotique de la suite (Hn)n≥1 1. a) Montrer que (un −un+1) ∼ n→+∞ 1 2n2 . 1 b) En déduire que P n≥1 (un −un+1) est une série convergente. c) Justifier que la suite (un)n≥1 converge. On note γ ta limite. d) Montrer que pour tout entier n tel que n ≥2, n X k=2 1 k ≤ln n ≤ n−1 X k=1 1 k e) En déduire que 0 ≤γ ≤1. 2. On pose pour tout entier naturel non nul n, vn = un −γ. a) Vérifier que γ = 1 + +∞ X n=2  1 n −ln  n n −1  . b) En déduire que vn = +∞ X k=n+1  ln  k k −1  −1 k  . c) Conclure que Hn = ln(n) + γ + 1 2n + o  1 n  . 3. On pose pour tout entier naturel non nul n ; wn = un −γ −1 2n. a) Donner un équivalent simple de wn+1 −wn. b) Vérifier que 1 n2 − 1 (n + 1)2 ∼ n→+∞ 2 n3 puis que +∞ X k=n 1 k3 ∼ n→+∞ 1 2n2 . c) Conclure que Hn = ln(n) + γ + 1 2n − 1 12n2 + o  1 n2  . 4. Pour tout entier naturel non nul n, on note mn = min {k ∈N∗| Hk ≥n} et on pose εn = 1 2n + o 1 n
. a) Justifier l’existence de mn. b) Etablir que exp (n −γ −εmn) ≤mn < 1 + exp (n −γ −εmn−1) c) En déduire un équivalent de mn. d) Conclure que lim n→+∞ mn+1 mn = e. Partie 2 Étude de deux exemples de séries de fonctions 1. On considère la fonction réelle ζ définie sur ]1, +∞[ par ζ(x) = +∞ X n=1 1 nx . 2. Pour tout entier naturel non nul n, on définit sur ]1, +∞[ les fonctions réelles ϕn et ψn par , ϕn(x) = 1 nx − Z n+1 n 1 tx dt et ψn(x) = 1 nx − 1 (n + 1)x a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, et pour tout réel x de ]0, +∞[. 0 ≤ϕn(x) ≤ψn(x) b) Montrer que la série P n≥1 ϕn converge simplement sur ]0, +∞[. On note ainsi, pour tout x de ]0, +∞[ , ϕ(x) = +∞ X n=1 ϕn(x). c) Montrer que la fonction ϕ est continue sur ]0, +∞[ . 2 d) On considère la fonction K définie sur ]1, +∞[ par K(x) = ζ(x) + 1 1 −x. i) Montrer que pour tout rel x de ]1, +∞[ , K(x) = ϕ(x). ii) En déduire que la fonction K admet une limite finie quand x tend vers 1 à droite. iii) En déduire que ζ(x) ∼ 1 x −1au voisinage de 1 à droite. 3. Pour tout entier naturel non nul n, on considère la fonction fn définie sur ]0, +∞[ par. fn(x) = (−1)n nx a) Montrer que la série de fonctions P n≥1 fn converge simplement sur ]0, +∞[. On définit ainsi, la fonction f sur ]0, +∞[ par f(x) = +∞ X n=1 fn(x). b) La convergence de la série P n≥1 fn est-elle uniforme sur ]0, +∞[? Justifier votre réponse. c) Montrer que pour tout réel strictement positif a, la série P n≥1 f ′ n converge uniformément sur [a, +∞[, où f ′ n désigne la dérivée de la fonction fn. d) Montrer que f est de classe C1sur ]0, +∞[ et que pour tout réel x de ]0, +∞[ f ′(x) = +∞ X n=1 (−1)n−1 ln(n) nx 4. a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel x de ]1, +∞[, 2n X k=1 1 kx = 1 2x n X k=1 1 kx + n X k=1 1 (2k −1)x b) Montrer que pour tout entier naturel non nul n et pour tout reel x de ]1, +∞[ , 2n X k=1 (−1)k kx = 1 2x n X k=1 1 kx − n X k=1 1 (2k −1)x c) En déduire que pour tout rel x de ]1, +∞[ , f(x) = 21−x −1
ζ(x) 5. a) Déterminer le développement limite a l’ordre 2 de 21−x −1
. lorsque x tend vers 1 à droite. b) En déduire le développement limité à l’ordre 1 de f(x), lorsque x tend vers 1 à droite. c) Déterminer les valeurs de +∞ P n=1 (−1)n n et +∞ P n=1 (−1)n−1 ln n n . Partie 3 Calcul d’une intégrale On se propose de calculer l’intégrale Z +∞ 0 (−ln u)e−udu. On pose pour tout entier naturel non nul n et pour In,k = Z n 0 ln(u)  1 −u n k du et. In = In,n 1. Montrer que pour tous entiers naturels non nuls n et k, In,k = In,k−1 + Z n 0 −1 n  (u ln(u))  1 −u n k−1 du 3 2. En déduire que pour tout entier naturel non nuls n et tout entier naturel k, k + 1 k In,k = In,k−1 − n k(k + 1) 3. On pose pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier naturel k, Jn,k = (k + 1)In,k . a) Déterminer pour tous entiers naturels non nuls n et k, une relation entre Jn,k et Jn,k−1. b) En déduire pour tout entier naturel non nul n, In en fonction de n et un. 4. a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel u dans [0, n] ,  1 −u n n ≤e−u b) Montrer que lim n→+∞ Z n 0 (−ln u)  1 −u n n du = Z +∞ 0 (−ln u)e−udu. c) En déduire la valeur de Z +∞ 0 (−ln u)e−udu. Partie 4 Application a la loi de Gumbel Soit g la fonction définie sur R par g(t) = exp (−t −e−t). 1. a) Montre que l’intégrale Z +∞ −∞ g(t)dt converge et donner sa valeur, (on pourra utiliser ha fonction t 7→exp (−e−t) ) b) Justifier que g est une densité d’une variable aléatoire qu’on notera X. La loi suivie pat X est appelée loi de Gumbel. c) Déterminer FX la fonction de répartition de X. 2. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance E(X)et déterminer sa valeur. 3. Soit n un entier supérieur ou égal a 2. On considère les variables aléatoires X1, X2 . . . .Xn indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle de paramètre 1. On rappelle qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ, (λ > 0) si elle admet pour densité la fonction θ définie par θ(x) = ( 0 si x < 0 λe−λx si x ≥0 On pose Mn = max (X1, X2, . . . , Xn) , Gn = Mn −ln(n). On note FMnla fonction de répartition de la variable aléatoire Mn et FGncelle de la variable aléatoire Gn a) Déterminer FX1la fonction de répartition de X1. b) Déterminer la fonction FMnet en déduire uploads/Litterature/ concours-national-commun-epreuve-de-mathematiques-i-session-2021-filiere-mp 1 .pdf

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• Publié le Jan 11, 2022
• Catégorie Literature / Litté...
• Langue French
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