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Analyse appliqu´ ee 1 mat 2466 Yvan SAINT-AUBIN universit´ e de montr´ eal sept

Analyse appliqu´ ee 1 mat 2466 Yvan SAINT-AUBIN universit´ e de montr´ eal septembre 1996 M. Cauchy annonce que, pour se conformer au voeu du Conseil, il ne s’attachera plus ` a donner, comme il a fait jusqu’` a pr´ esent, des d´ emonstrations parfaitement rigoureuses. Conseil d’instruction de l’´ Ecole Polytechnique, 24 novembre 1825 Pr´ eface Quels ´ etaient les motifs du Conseil de l’´ Education pour mod´ erer les efforts du Baron Cauchy vers la parfaite rigueur math´ ematique? Le Conseil doutait-il de la n´ ecessit´ e de cette rigueur? de son caract` ere p´ edagogique? ou de sa validit´ e mˆ eme? Chacun voudra y aller de ses hypoth` eses. Il est clair que le d´ ebat est encore ouvert puisqu’on enseigne aujourd’hui les math´ ematiques ` a tous les niveaux de rigueur. Des ensembles de “recettes” que constituent plusieurs cours aux disciplines utilisant les math´ ematiques aux enseignements les plus abstraits o` u le moindre petit lemme est justiﬁ´ e: on en trouve pour tous les goˆ uts. Il est cependant rare de trouver des cours o` u les di- vers chapitres sont trait´ es avec des niveaux de rigueur diff´ erents. Les pr´ esentes notes ont choisi ce parti. Elles oscillent entre une pr´ esentation rigoureuse de r´ esultats math´ ematiques et une discussion intuitive des outils et applications sous-jacents au sujet. Le premier “style” sera ais´ ement reconnu avec ses d´ eﬁni- tions, th´ eor` emes et preuves. Dans le second, j’ai quand mˆ eme essay´ e de mettre en relief les hypoth` eses cruciales et les ´ etapes qui demanderaient des justiﬁca- tions moins na¨ ıves. Ce choix pourra d´ eplaire ` a tous: aux futurs math´ ematiciens qui d´ esireraient voir la discipline s´ erieusement et une fois pour toutes et aux physiciens, par exemple, qui aimeraient plutˆ ot se concentrer sur les applications spectaculaires de l’analyse de Fourier. J’esp` ere cependant qu’elle pourra rallier quelques lec- teurs. Les th´ eor` emes qui sont d´ emontr´ es le sont car ils forment le coeur du sujet et qu’ils indiquent la voie ` a venir. Et le nombre des exemples trait´ es plus rapi- dement r´ ev` elent la richesse du domaine d’applications. Le mat´ eriel pr´ esent´ e dans ces notes se trouve dans plusieurs livres. Je dois cependant payer tribut ` a une source en particulier, Thomas W. K¨ orner, dont le livre Fourier Analysis paru aux Presses de l’Universit´ e de Cambridge, constitue un chef-d’oeuvre de p´ edagogie. La pr´ esentation math´ ematique est tir´ ee de ce livre. Enﬁn c’est avec plaisir que je remercie Ervig Lapalme: il a lu ces notes et fait les exercices. Ses nombreux commentaires et suggestions ont ´ et´ e grande- ment appr´ eci´ es. Table des mati` eres Pr´ eface v Table des mati` eres vii 1 S´ eries de Fourier 1 1.1 D´ eﬁnition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 S´ eries d’une parit´ e donn´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 S´ eries de p´ eriode L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 S´ eries complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 La corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.1 La corde plomb´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2 La corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Convergence des s´ eries de Fourier 39 2.1 Rappel d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 La continuit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2 La convergence d’une suite et d’une s´ erie . . . . . . . . . 41 2.1.3 L’int´ egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.4 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Le th´ eor` eme de Fej´ er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Rappel d’alg` ebre lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5 Convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Probl` eme de Sturm-Liouville et fonctions sp´ eciales 87 3.1 Rappel sur les ´ equations diff´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 S´ eparation de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 Le probl` eme de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Polynˆ omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.5 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4 La transformation de Fourier 147 4.1 Un passage ` a la limite et exemples de calcul . . . . . . . . . . . . 147 4.2 Quelques th´ eor` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.3 La convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 viii TABLE DES MATI ` ERES 4.4 Une application: l’ˆ age de la terre selon Lord Kelvin . . . . . . . 178 A Fonctions eul´ eriennes 187 A.1 Les fonctions Γ et B(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A.2 La formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Solutions et suggestions pour les exercices 201 Index 207 Chapitre 1 S´ eries de Fourier A la ﬁn du XVIIIi` eme si` ecle, la m´ ecanique classique ´ etait sur de bonnes as- sises et les physiciens commen¸ caient ` a se tourner vers des probl` emes d’une dif- ﬁcult´ e plus grande. Les ´ equations de Newton r´ egissant la m´ ecanique et, en par- ticulier, la gravitation, m` enent ` a des ´ equations diff´ erentielles ordinaires, c’est- ` a-dire ` a des ´ equations ne faisant intervenir que des d´ eriv´ ees par rapport ` a une seule variable, le temps. Les ´ equations qui attirent les physiciens en cette ﬁn de si` ecle sont des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles qui font intervenir des d´ e- riv´ ees par rapport ` a plusieurs variables ind´ ependantes, telles les ´ equations de la chaleur, de la lumi` ere ou des ondes, de l’´ electricit´ e et du magn´ etisme, etc. La naissance du domaine des math´ ematiques appel´ e “s´ eries de Fourier” ou encore “analyse harmonique” peut ˆ etre ﬁx´ ee ` a 1807, date ` a laquelle Fourier pr´ esente son m´ emoire ` a l’Acad´ emie des Sciences de Paris sur la th´ eorie de la chaleur. uploads/Litterature/ analyse-appliquee-saint-aubin.pdf