Université Rennes 1, Année 2012-2013, Master 1 Math., Algèbre générale de base

Université Rennes 1, Année 2012-2013, Master 1 Math., Algèbre générale de base Contrôle 1, corrigé Exercice 1 (2 points) Soient A un anneau et I, J des idéaux bilatères de A tels que I ⊂J. On note J/I l'idéal image de J dans l'anneau quotient A/I. Montrez que les anneaux (A/I)/(J/I) et A/J sont isomorphes. Considérons le morphisme surjectif d'anneaux π : A →(A/I)/(J/I) composé des deux morphismes [2 pts] surjectifs canoniques d'anneaux π1 : A →A/I et π2 : A/I →(A/I)/(J/I). Dire que a ∈A est dans le noyau de π, c'est dire que π1(a) est dans le noyau de π2, c'est-à-dire dans J/I. D'après la construction de π1, ceci signi e qu'il existe j ∈J tel que a ≡j mod I, c'est-à-dire a −j ∈I. Comme I ⊂J, cela veut simplement dire que a ∈J. Finalement ker(π) = J. D'après le théorème de passage au quotient, ou propriété universelle du morphisme de quotient ρ : A →A/J, il existe un unique morphisme π′ : A/J →(A/I)/(J/I) tel que π = π′ρ, et de plus le noyau de π′ est égal à ker(π)/J = 0 et l'image de π′ est égale à celle de π c'est-à-dire (A/I)/(J/I). Ainsi π′ est un isomorphisme. Exercice 2 (5 points) Soient k un corps, M2(k) la k-algèbre des matrices de taille (2, 2) à coe cients dans k, et A la sous-k-algèbre engendrée par les matrices M = E1,1 = 1 0 0 0  et N = E1,2 = 0 1 0 0  . (1) Donnez une base de A comme k-espace vectoriel. (2) A est-il commutatif ? Est-ce une algèbre à division ? Est-ce un anneau simple ? (1) Par dé nition A est la plus petite k-algèbre contenant M et N. Elle contient en particulier le [2 pts] sous-espace vectoriel V de M2(k) de base I2, M et N. Or les relations M2 = M, N2 = 0, MN = N, NM = 0 impliquent que V est stable par produit. Ainsi V est une sous-k-algèbre de M2(k), donc A = V . Une base de A comme k-espace vectoriel est {I2, M, N}. (2) Comme MN = N ̸= 0 = NM, l'anneau A n'est pas commutatif. [1 pt] Comme N ̸= 0 et N2 = 0, N n'est pas inversible et l'anneau A n'est pas une algèbre à division. [1 pt] Compte tenu des relations N2 = 0, NM = 0 et MN = N, la droite vectorielle engendrée par N est [1 pt] un idéal bilatère distinct de {0} et A, donc A n'est pas simple. Exercice 3 (3 points) Soient A un anneau, u ∈A un élément inversible et n ∈A un élément nilpotent. Montrez que si A est commutatif alors u + n est inversible (commencez par considérer le cas u = 1). Est-ce encore vrai si A n'est pas commutatif ? Notons k un entier tel que nk = 0. Par simple développement, on trouve : [1 pt] (1 + n) k−1 X i=0 (−n)i = 1 + (−1)k−1nk = 1. Ainsi Pk−1 i=0 (−n)i est un inverse à droite pour 1 + n, et comme A est commutatif c'est bien sûr aussi un inverse à gauche donc 1 + n est inversible. Écrivons u + n = u(1 + u−1n). Comme A est commutatif, alors (u−1n)k = u−knk = 0 i.e. u−1n est [1 pt] nilpotent. D'après ce qui précède 1 + u−1n est inversible, donc u + n aussi. Si A n'est pas commutatif, ceci n'est pas toujours vrai : par exemple considérons A = M2(k) pour un [1 pt] corps k, et les éléments u = 0 1 1 0  et n = 0 −1 0 0  . On voit que u est inversible, n est nilpotent, mais u + n = 0 0 1 0  n'est pas inversible. uploads/Litterature/ controle1-corrige 1 .pdf

Tags
littérature n'est comme commutatif algèbre exercice
Documents similaires
  • 25
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager