Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3 Prof. E. Bayer Fluckiger 26 septembre 2

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3 Prof. E. Bayer Fluckiger 26 septembre 2011 Corrig´ e de la s´ erie 1 Sauf indication contraire, nous adoptons la notation multiplicative pour la loi de composition interne des groupes ´ etudi´ es. Exercice 1 (Groupes : premiers exemples). Parmi les couples suivants lesquels sont des groupes ? ({0}, +), (N \ {0}, +), (Z, +), (R, +), (N \ {0}, ×), (R2, +), (R \ {0}, ×). Solution. Il s’agit de v´ erifier les axiomes de la d´ efinition d’un groupe. • L’addition n’a pas d’´ el´ ement neutre dans N \ {0}. Le couple (N \ {0}, +) n’est donc pas un groupe. • Par ailleurs, 2 n’a pas d’inverse dans N \ {0}. Le couple (N \ {0}, ×) n’est donc pas un groupe. • L’addition usuelle est associative. Elle admet 0 pour ´ el´ ement neutre. Par ailleurs l’oppos´ e d’un ´ el´ ement de {0} (respectivement Z, R) est un ´ el´ ement de {0} (respectivement Z, R). Les couples ({0}, +), (Z, +) et (R, +) sont des groupes. • De mˆ eme, la multiplication usuelle est associative et admet 1 pour ´ el´ ement neutre. L’inverse d’un ´ el´ ement de R \ {0} ´ etant un ´ el´ ement de R \ {0}, le couple (R \ {0}, ×) est un groupe. • Par d´ efinition, la loi d’addition d’un espace vectoriel V muni cet espace vectoriel V d’une structure de groupe (V, +). L’exercice demande de mon- trer cette affirmation directement dans le cas o` u V = R2. L’associativit´ e de l’addition dans R2 se d´ eduit de l’associativit´ e de l’ad- dition usuelle dans R : pour tout (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈R2 nous avons  (x1, y1) + (x2, y2)  + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3) =  (x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3  =  x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)  = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1, y1) +  (x2 + y2) + (x3, y3)  . 2 Par ailleurs, l’addition dans R2 admet (0, 0) comme ´ el´ ement neutre, et tout (x, y) ∈R2 admet (−x, −y) comme oppos´ e relativement ` a la loi de composition interne +. Ainsi, (R2, +) est bien un groupe. □ Exercice 2 (Groupe sym´ etrique d’un ensemble). Soit E un ensemble. Montrer que l’ensemble S(E) des bijections de E muni de la composition des fonctions est un groupe. Solution. Soient f, g, h ∈S(E). Soit x ∈E. Par d´ efinition de ◦nous avons  (f ◦g) ◦h  (x) = (f ◦g)(h(x)) = f(g(h(x)) = f  (g ◦h)(x)  =  f ◦(g ◦h)  (x). Nous avons donc (f ◦g) ◦h = f ◦(g ◦h). La loi de composition interne ◦est bien associative. Par ailleurs pour tout f ∈S(E) et tout x ∈E, nous avons (f ◦Id)(x) = f(Id(x)) = f(x) = Id(f(x)) = (Id ◦f)(x). Ainsi la fonction identit´ e Id est ´ el´ ement neutre pour ◦. Enfin pour tout f ∈S(E) l’inverse f −1 de f au sens des fonctions bijectives est d´ efini par les formules (f ◦f −1)(x) = x et (f −1 ◦f)(x) = x. Cet inverse au sens des fonctions bijectives est donc aussi l’inverse de f relativement ` a la loi de composition interne ◦. Le couple (S(E), ◦) est donc un groupe. □ Exercice 3 (Matrices inversibles). Montrer que l’ensemble des matrices inversibles GL2(R) muni de la multiplication des matrices est un groupe. Solution. Le produit de deux matrices inversibles est encore une matrice in- versible. La multiplication matricielle induit donc une loi de composition interne sur l’ensemble des matrices inversibles. Vous connaissez l’associativit´ e de cette loi de composition interne : vous avez vu en premi` ere ann´ ee que la multiplication des matrices est associative. Cependant, l’exercice demande une preuve directe de cette associativit´ e. Soient  a1 b1 c1 d1  ,  a2 b2 c2 d2  ,  a3 b3 c3 d3  ∈GL2(R). Alors  a1 b1 c1 d1   a2 b2 c2 d2   a3 b3 c3 d3  =  a1a2 + b1c2 a1b2 + b1d2 c1a2 + d1c2 c1b2 + d1d2   a3 b3 c3 d3  =  (a1a2 + b1c2)a3 + (a1b2 + b1d2)c3 (a1a2 + b1c2)b3 + (a1b2 + b1d2)d3 (c1a2 + d1c2)a3 + (c1b2 + d1d2)c3 (c1a2 + d1c2)b3 + (c1b2 + d1d2)d3  3 et  a1 b1 c1 d1   a2 b2 c2 d2   a3 b3 c3 d3  =  a1 b1 c1 d1   a2a3 + b2c3 a2b3 + b2d3 c2a3 + d2c3 c2b3 + d2d3  =  a1(a2a3 + b2c3) + b1(c2a3 + d2c3) a1(a2b3 + b2d3) + b1(c2b3 + d2d3) c1(a2a3 + b2c3) + d1(c2a3 + d2c3) c1(a2b3 + b2d3) + d1(c2b3 + d2d3)  En comparant les r´ esultats de ces deux calculs, nous remarquons que l’associa- tivit´ e de la multiplication des matrices est une cons´ equence de la distributivit´ e de la multiplication dans R, ainsi que de la commutativit´ e de l’addition dans R. La multiplication des matrices admet  1 0 0 1  pour ´ el´ ement neutre. L’inverse d’une matrice inversible M est par d´ efinition l’inverse de M relativement ` a la multiplication des matrices. Ainsi GL2(R) muni de la multiplication des matrices est bien un groupe. □ Exercice 4 (Groupes : quelques remarques). (1) Montrer qu’un groupe G a au plus un ´ el´ ement neutre. (2) Soient a, b et c trois ´ el´ ements d’un groupe G. Montrer que si ac = bc alors a = b. (3) Montrer qu’un ´ el´ ement x d’un groupe G a au plus un inverse. (4) Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne ⋆associative admettant un ´ el´ ement neutre e. Nous supposons de plus que tout ´ el´ ement de E a un inverse ` a gauche et un inverse ` a droite. Montrer que le couple (E, ⋆) est un groupe. (5) Dans un groupe G, quel est l’inverse d’un produit xy ? (6) Soient a et b deux ´ el´ ements d’un groupe G. Montrer que l’´ equation ax = b a une unique solution x. Cette solution est elle aussi solution de l’´ equation xa = b ? (7) Dans un groupe G, a-t-on (ab)n = anbn pour tout a, b ∈G et tout n ∈N ? Solution. (1) Supposons que e1 ∈G et e2 ∈G soient deux ´ el´ ements neutres dans G. Alors e1 = e1e2 puisque e2 est ´ el´ ement neutre. Cependant, e1 ´ etant un ´ el´ ement neutre, nous avons aussi e1e2 = e2. Ainsi, e1 = e1e2 = e2. (2) En multipliant ` a droite par l’inverse c−1 de c nous obtenons a = a(1G) = a(cc−1) = (ac)c−1 = (bc)c−1 = b(cc−1) = b(1G) = b. 4 (3) Soient y1 et y2 deux inverses de x. Alors nous avons 1G = xy2 et xy1 = 1G. Nous pouvons donc d´ eduire de l’associativit´ e de loi de composition interne de G que y1 = y1(1G) = y1(xy2) = (y1x)y2 = (1G)y2 = y2. (4) Soit x un ´ el´ ement de E. Nous voulons montrer que x admet un inverse. Pour cel` a nous allons montrer que tout inverse ` a gauche de x est inverse ` a droite de x. La preuve s’inspire de la r´ eponse ` a la question pr´ ec´ edente. Notons g l’inverse ` a gauche de x et d l’inverse ` a droite de x. Par d´ efinition d’un inverse ` a gauche et d’un inverse ` a droite, nous avons g ⋆x = e et x ⋆d = e. De l’associativit´ e de ⋆et de la d´ efinition d’un ´ el´ ement neutre, nous pouvons donc d´ eduire que g = g ⋆e = g ⋆(x ⋆d) = (g ⋆x) ⋆d = e ⋆d = d. Ainsi g = d est bien inverse ` a gauche et inverse ` a droite de x. (5) Par associativit´ e de la loi de composition interne nous avons (xy)(y−1x−1) = x(yy−1)x−1 = x(1G)x−1 = xx−1 = 1G. Ainsi l’inverse du produit xy est (xy)−1 = y−1x−1. Attention ` a l’ordre des termes dans cette formule : tous les groupes ne sont pas commutatifs ! (6) Nous avons montr´ e pr´ ec´ edemment que a a un unique inverse a−1. Par d´ efinition de cet inverse, ax = b si et seulement si x = a−1b. l’´ equation ax = b a donc une unique solution. De plus a−1b est solution de l’´ equation xa = b si et seulement a−1ba = b c’est-` a-dire si et seulement si ba = aa−1ba = ab. Si G = GL2(R) et a uploads/Litterature/ corrige-1 1 .pdf

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