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MATHS MP EXERCICES INCONTOURNABLES J. FRESLON I S. GUGGER I D. FREDON I J. POIN

MATHS MP EXERCICES INCONTOURNABLES J. FRESLON I S. GUGGER I D. FREDON I J. POINEAU I C. MORIN 3e édition © Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-077737-2 Conception et création de couverture : Hokus Pokus Créations Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de deuxième année de classes préparatoires scienti- ﬁques de la ﬁlière MP. Il leur propose de mettre en pratique les notions abordées en cours de mathématiques par le biais d’exercices, assortis d’une correction détaillée, dans laquelle l’accent est mis sur la méthode qui mène à la solution. Le livre est divisé en quinze chapitres, chacun étant consacré à une partie du pro- gramme. Nous avons regroupé les chapitres selon les thèmes classiques : Algèbre, Topologie, Analyse et Probabilités. Au sein d’un même chapitre, les exercices, classés par ordre croissant de diﬃculté, ont été choisis de façon à passer en revue les notions à connaître, mais aussi à présenter les techniques susceptibles d’être utilisées. En ce qui concerne les corrections, nous avons choisi de séparer clairement la réﬂexion préliminaire, comprenant analyse du problème et tâtonnements, de la rédaction ﬁnale, rigoureuse et précise. Cette dernière étape est signalée, dans le texte, par la présence d’un liseré gris sur la gauche et du pictogramme . Insistons sur le fait que nous ne prétendons nullement présenter l’unique cheminement permettant d’aboutir à la solution d’un exercice donné, ni la seule rédaction acceptable. Dans les deux cas, bien des possibilités existent. Par ailleurs, lorsque nous avons souhaité mettre en lumière un point important, nous l’avons rédigé sur un fond grisé et indiqué par . De même, la présence d’un piège dont il faut se méﬁer est signalée par . Nous remercions Sabrina Bergez, qui a collaboré à la réalisation de ce livre en le reli- sant en détail et en nous faisant bénéﬁcier de ses nombreuses remarques pertinentes. Table des matières Algèbre 1 Structures algébriques usuelles 8 2 Réduction 31 3 Espaces euclidiens 74 Topologie 4 Topologie des espaces vectoriels normés 99 5 Fonctions vectorielles et arcs paramétrés 125 Analyse 6 Fonctions convexes 143 7 Séries numériques et vectorielles 149 8 Familles sommables de nombres complexes 161 9 Suites et séries de fonctions 174 10 Séries entières 197 11 Intégration 223 12 Équations diﬀérentielles 263 13 Calcul diﬀérentiel 285 Probabilités 14 Espaces probabilisés 309 15 Variables aléatoires discrètes 321 Index 347 Partie 1 Algèbre Algèbre 1 Structures algébriques usuelles 8 1.1 : Groupe engendré par deux éléments 8 1.2 : Centre du groupe symétrique 9 1.3 : Conjugaison 9 1.4 : Partie génératrice du groupe orthogonal 11 1.5 : Anneau Z[ √ 2] 13 1.6 : Groupe multiplicatif d’un corps ﬁni 16 1.7 : Radical d’un idéal 17 1.8 : Une congruence 19 1.9 : Systèmes de congruences 20 1.10 : Application du théorème chinois 22 1.11 : Nombres de Fermat 23 1.12 : Codage RSA 25 1.13 : Polynôme et racines n-ièmes 26 1.14 : PGCD de P et P’ 27 1.15 : Exemple de polynôme irréductible 29 2 Réduction 31 2.1 : Éléments propres d’un endomorphisme d’un espace de polynômes 31 2.2 : Éléments propres d’un endomorphisme d’un espace de fonctions 33 2.3 : Réduction d’une matrice d’ordre 3 37 2.4 : Diagonalisation 39 2.5 : Trigonalisation 43 2.6 : Réduction d’une matrice à paramètres 47 2.7 : Diagonalisation simultanée 49 2.8 : Réduction des matrices de trace nulle 51 2.9 : Étude d’un endomorphisme d’un espace d’endomorphismes 54 2.10 : Réduction 56 2.11 : Diagonalisabilité et sous-espaces stables 60 2.12 : Une caractérisation des endomorphismes nilpotents 61 2.13 : Décomposition de Dunford 62 2.14 : Théorème de Cayley-Hamilton 67 3 Espaces euclidiens 74 3.1 : Famille de polynômes orthogonaux 74 3.2 : Une série de Fourier 77 3.3 : Un problème de minimisation 80 3.4 : Isométries matricielles 82 3.5 : Formes quadratiques 84 3.6 : Quotients de Rayleigh 87 3.7 : Matrices déﬁnies positives 88 3.8 : Décomposition polaire 90 3.9 : Connexité par arcs de SOn(R) 92 3.10 : Étude d’une rotation en dimension 3 94 1 CHAPITRE Structures algébriques usuelles Soient A =   1 0 0 0 0 1 0 1 0  et B =   0 0 1 1 0 0 0 1 0  . Quel est le groupe engendré par A et B ? Exercice 1.1 : Groupe engendré par deux éléments Il s’agit d’éléments de M3(R). La loi n’est pas précisée. Mais pour l’addition le groupe engendré serait l’ensemble des matrices pA + qB avec p ∈Z et q ∈Z. Il n’y aurait donc aucun problème : c’est le produit de matrices qu’il faut considérer. Le groupe dans lequel on se place est celui des matrices carrées inversibles d’ordre 3. Lorsqu’il s’agit de groupes usuels, les énoncés ne prendront générale- ment pas la peine de préciser la loi utilisée. Lorsque deux lois sont possibles, il faut étudier pour laquelle la question posée a le plus de sens. Le groupe engendré par A et B est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe contenant les deux matrices. Il est constitué par tous les produits possibles avec A, B et leurs inverses. Remarquons que A et B sont bien inversibles puisque det A = −1 et det B = 1. Le groupe G cherché contient A et B. Il contient aussi A2 = I3, ce qui implique que A−1 = A, B2 =   0 1 0 0 0 1 1 0 0  , B3 = I3, ce qui implique que l’on a B−1 = B2. On en déduit alors que pour tout n ∈Z, An ∈{I3, A} et que pour tout p ∈Z, Bp ∈{I3, B, B2}. Il reste à calculer les produits de A et de B. On a AB =   0 0 1 0 1 0 1 0 0  et BA =   0 1 0 1 0 0 0 0 1  = AB2. Ainsi tout élément de G peut s’écrire sous la Algèbre 9 forme AnBp, (n, p) ∈Z2 (puisqu’on peut commuter A et B en augmentant la puissance de B). Avec la remarque plus haut, les éléments de G sont les AnBp avec n ∈{0, 1} et p ∈{0, 1, 2} et G = {I3, B, B2, A, AB, AB2}. A et B sont des matrices associées à des permutations des vecteurs de la base canonique (e1, e2, e3) : A est associée à la transposition τ2,3, B au cycle (1, 2, 3). Ces deux permutations engendrent S3, donc G est l’ensemble des six matrices de permutation de la base (e1, e2, e3). Démontrer que le centre du groupe symétrique Sn (c’est-à-dire l’ensemble des éléments de Sn qui commutent avec tous les éléments de Sn) est réduit à {Id} pour n ⩾3. Exercice 1.2 : Centre du groupe symétrique Il faut bien se souvenir que la loi d’un groupe n’est pas, en général, commutative ! Il est clair que Id commute avec tous les éléments de Sn, il faut donc montrer que si une permutation σ commute avec tous les éléments de Sn, c’est l’identité. On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existe une permutation σ diﬀérente de l’identité appartenant au centre de Sn. Il existe alors a ̸= b tels que σ(a) = b. Introduisons la transposition τa,b. On a alors : σ ◦τa,b(b) = σ(a) = b. Comme σ commute avec tout élément de Sn, on aussi : τa,b ◦σ(b) = b d’où σ(b) = a. Introduisons le cycle ca,b,c, avec c distinct de a et b, ce qui est possible car n ⩾3. On a : σ ◦ca,b,c(a) = σ(b) = a et ca,b,c ◦σ(a) = ca,b,c(b) = c. On obtient une contradiction, donc le centre de Sn est inclus dans {Id}. L’in- clusion réciproque étant claire, on a le résultat voulu. 10 Chapitre 1 Structures algébriques usuelles Soit G un groupe. Pour a ∈G, on note fa : G →G, x 7→a−1 x a. 1. Montrer que pour tout a ∈G, fa est un automorphisme de G. 2. Montrer que ϕ : G →Aut(G), a 7→fa est un morphisme de groupes. 3. Déterminer le noyau de ϕ. Exercice 1.3 : Conjugaison 1. La loi du groupe G n’est pas précisée, mais vu la déﬁnition de fa, elle est notée comme une multiplication. Pour a ∈G, il faut montrer, d’une part que fa est un morphisme de groupes, d’autre part qu’il est bijectif. Pour le premier point, on vériﬁe la déﬁnition, pour le second on choisit ici de résoudre l’équation fa(x) = y. Soit a ∈G. Pour (x, y) ∈G2, on a fa(x) fa(y) = (a−1 x a) (a−1 y a) = (a−1 x) (a−1 a) (y a) = a−1 x y a = fa(x y) par associativité de la multiplication dans G. Ainsi fa est un endomorphisme du groupe G. Soit y ∈G, l’équation fa(x) = y, d’inconnue x ∈G, équivaut à a−1 x a = y, si et seulement si a (a−1 x a) = a y, i.e. x a uploads/Litterature/ mathematiques-exercices-incontournables-mp-by-j-freslon-s-gugger-d-fredon-j-poineau-c-morin-pdf.pdf