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© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Devoir surveillé n°08 ▶La prése

© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Devoir surveillé n°08 ▶La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. ▶On prendra le temps de vérifier les résultats dans la mesure du possible. ▶Les calculatrices sont interdites. Problème 1 — Partie I – Notons E le R-espace vectoriel des applications de R dans R de classe C∞et D : f ∈E 7→f′. Il est clair que D est un endomorphisme de E. 1. Déterminer le noyau et l’image de D. On considère les trois fonctions f1 : t ∈R 7→et f2 : t ∈R 7→e−t/2 sin ( t √ 3 2 ) f3 : t ∈R 7→e−t/2 cos ( t √ 3 2 ) Nous noterons B = (f1, f2, f3) et G le sous-espace vectoriel de E engendré par B. Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E. Soient a, b et c des réels tels que af1 + bf2 + cf3 soit la fonction nulle. 2. L’étudiante Antoinette observe que af1(t) + bf2(t) + cf3(t) = 0 pour tout réel t. Elle choisit (adroite- ment) trois valeurs de t, obtient un système de trois équations à trois inconnues a, b et c, qu’elle résout ; il ne lui reste plus qu’à conclure. Faites comme elle ! 3. L’étudiante Lucie propose d’exploiter le développement limité à l’ordre 2 de la fonction af1 +bf2 +cf3 au voisinage de 0. Faites comme elle ! 4. L’étudiante Nicole décide de s’intéresser au comportement de af1 + bf2 + cf3 au voisinage de +∞. Faites comme elle ! La famille B est donc une base de G et ce sous-espace est de dimension 3. 5. Montrer que G est stable par D c’est-à-dire que D(G) ⊂G. Nous noterons “ D l’endomorphisme de G induit par D, c’est-à-dire l’endomorphisme de G défini par “ D(f) = D(f) pour f ∈G. 6. Montrer que “ D3 = IdG. 7. En déduire que “ D est un automorphisme de G et exprimer (“ D)−1 en fonction de “ D. http://lgarcin.github.io 1 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Partie II – Nous nous intéressons dans cette partie à l’équation différentielle y′′′ = y, que nous noterons (E). Une solution sur R de (E) est une fonction définie sur R à valeurs dans R, trois fois dérivable sur R, vérifiant f′′′(t) = f(t) pour tout t ∈R. 8. Montrer que toute solution f de (E) est C∞. Notons T = D3 −IdE, où IdE est l’identité de E, et D3 = D ◦D ◦D. Le noyau de T est donc l’ensemble des solutions de (E). 9. Montrer que G est contenu dans le noyau de T. Nous allons établir l’inclusion inverse ; ainsi G sera exactement l’ensemble des solutions de (E). Soit f une solution de (E) ; nous noterons g = f′′ + f′ + f. 10. Montrer que g est solution de l’équation différentielle y′ = y. 11. Décrivez rapidement l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle y′ −y = 0. 12. Résolvez l’équation différentielle y′′ + y′ + y = 0. Vous donnerez une base de l’ensemble des solutions à valeurs réelles. 13. Soit λ ∈R. Décrivez l’ensemble des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle y′′ + y′ + y = λet. 14. Et maintenant, concluez ! Problème 2 — On note I l’application identité de R2, c’est-à-dire l’application I: { R2 − → R2 (x, y) 7− → (x, y) On note également S l’application S: { R2 − → R2 (x, y) 7− → (y, x) Enfin, pour p ∈R, on pose Up = pS + (1 −p)I. Partie I – Préliminaires 1. Vérifier que S est un endomorphisme de R2. Que peut-on dire de S2 ? 2. Soit p ∈R. Justifier que Up est également un endomorphisme de R2. 3. Donner des bases du noyau et l’image de U 1 2 . Partie II – Un sous-groupe de GL(R)2 http://lgarcin.github.io 2 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot 4. Soit (p, q) ∈R2. Montrer qu’il existe r ∈R tel que Up ◦Uq = Uq ◦Up = Ur 5. Soit p ∈R. Montrer que Up est un automorphisme de R2 si et seulement si p ̸= 1 2 et que, dans ce cas, il existe un réel q tel que U−1 p = Uq. 6. On note G = { Up, p ∈R \ {1 2 }} Montrer que G est un sous-groupe de (GL(R2), ◦). Partie III – Puissances d’un endomorphisme On fixe p ∈R dans cette partie et on souhaite calculer les puissances de Up. 7. Montrer que (S + I) ◦Up = S + I et que (S −I) ◦Up = (1 −2p)(S −I) 8. Déterminer (S + I) ◦Un p et (S −I) ◦Un p pour tout n ∈N. 9. En déduire, pour n ∈N, une expression de Un p en fonction de S et I. Partie IV – Application On considère deux récipients A et B. Le récipient A contient initialement un volume V de grenadine tandis que le récipient B contient initialement un volume V d’eau. On appelle «opération» la procédure suivante : • on prélève un volume v de liquide dans le récipient A que l’on verse dans le récipient B (le récipient A contient alors un volume V −v et le récipient B un volume V + v) ; • on mélange le contenu du récipient B ; • on prélève alors un volume v de liquide du récipient B que l’on verse dans le récipient A (les récipients A et B contiennent alors à nouveau le même volume V de liquide) ; • on mélange le contenu du récipient A. On procède à plusieurs «opérations» successives et on note an et bn les proportions respectives de grenadine dans les récipients A et B après n «opérations». On a donc notamment initialement a0 = 1 et b0 = 0. On suppose enfin que 0 < v < V. 10. Montrer qu’il existe p ∈]0, 1[ tel que pour tout n ∈N, (an+1, bn+1) = Up(an, bn). 11. En déduire les termes généraux des suites (an) et (bn) ainsi que leurs limites. Exercice 1. Soient E, F et G trois espaces vectoriels, f ∈L(E, F) et g ∈L(F, G). 1. Montrer que F = Im(f) + Ker(g) si et seulement si Im(g ◦f) = Im(g). 2. Montrer que Ker(g) ∩Im(f) = {0F} si et seulement si Ker(g ◦f) = Ker(f). http://lgarcin.github.io 3 uploads/Litterature/ ds08.pdf