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Notion de développements Limités Page 1 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Tec

Notion de développements Limités Page 1 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique NOTION DE DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I– Introduction : Soit f une fonction dérivable au point x0 = 0. Il existe donc un intervalle ouvert de centre 0 et de rayon r, noté I (0 ; r), inclus dans l’ensemble de définition de f, et une fonction numérique Ű tels que :      = + + = ∈ ∀ → 0 ) ( lim ) ( ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( , ) ; 0 ( 0 x x x f x f x f r I x x ε ε Cette écriture de f(x) constitue le développement limité d’ordre 1 de f au voisinage de 0 Remarque : ) ( ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( lim 0 0 0 0 x x f x f x f x f x x x f x f x ε + + = ⇔ = − − → avec 0 ) ( lim 0 = → x x ε . D’où l’existence du développement limité d’ordre 1 de f en 0 est équivalente à la dérivabilité de f en 0 et donc de x f x f x ) 0 ( ) ( lim 0 − → . II– Définitions : a) Définition 1 : Dire qu’une fonction f admet un développement limité d’ordre n (n ∈ℕ ) au voisinage de 0 signifie qu’il existe un intervalle I (0 ; r) ⊂ Df et une fonction Ű tels que ∀x ∈ I (0 ; r) : . ) ( ) 0 ( ! .... .......... ) 0 ( ' ' ' ! 3 ) 0 ( ' ' ! 2 ) 0 ( ' ! 1 ) 0 ( ) ( ) ( 3 2 x x f n x f x f x f x f x f n n n ε + + + + + + = avec 0 ) ( lim 0 = → x x ε . (Formule de Mac Laurin) En posant Pn(x)= ) 0 ( ! ........ ) 0 ( ' ' ! 2 ) 0 ( ' ! 1 ) 0 ( ) ( 2 n n f n x f x f x f + + + + et Rn(x)=xn Ű(x) on a ∀x ∈ I (0 ; r) :      = + = → 0 ) ( lim ) ( ) ( ) ( 0 n n x n n x x R x R x P x f L’écriture de f(x) sous la forme Pn(x) + Rn(x), s’appelle développement limité d’ordre n en 0 de f. Pn s’appelle la partie régulière du développement limité, et la fonction x ֏ xn Ű(x) = Rn(x) s’appelle le reste du développement limité. Pn(x) s’appelle l’approximation polynomiale de degré n de la fonction f. Notion de développements Limités Page 2 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique b) Exemple de développement limité d’ordre n en 0 : Trouver le développement limité d’ordre 6 de la fonction cosinus. En déduire les approximations polynomiales de degré 4 et 3 de cosinus. Réponse : ) ( ! 6 ! 4 2 1 cos 1 6 6 4 2 x x x x x x ε + − + − = . ! 4 2 1 ) ( 4 2 4 x x x P + − = est l’approximation polynomiale de degré 4 de cos en 0. 3 2 4 0 2 1 ) ( x x x P + − = est l’approximation polynomiale de degré 3 de cos en 0. III– Développements limités d’ordre 3 en 0 des fonctions usuelles: 0 lim ) ( ! 3 sin 1 0 1 3 3 = + − = →ε ε x avec x x x x x 0 ) ( 2 0 2 3 2 lim ) ( 2 1 cos = → + − = x x avec x x x x ε ε 0 ) ( lim ) ( ! 3 ! 2 1 3 0 3 3 3 2 = + + + + = → x avec x x x x x e x x ε ε 0 ) ( lim ) ( ! 3 4 0 4 3 3 = + + = → x avec x x x x tgx x ε ε 0 ) ( lim ) ( ! 3 2 ) 1 ln( 5 0 5 3 3 2 = + + − = + → x avec x x x x x x x ε ε 0 ) ( lim ) ( 16 8 2 1 1 6 0 6 3 3 2 = + + − + = + → x avec x x x x x x x ε ε 0 ) ( lim ) ( 1 1 1 7 0 7 3 3 2 = + + + + = − → x avec x x x x x x x ε ε 0 ) ( lim ) ( 1 1 1 8 0 8 3 3 2 = + − + − = + → x avec x x x x x x x ε ε IV– Propriétés: P1) Une fonction f admet un développement limité en 0 d’ordre 0 si, et seulement si, elle est continue en 0. P2) si une fonction admet un développement limité en 0, alors celui-ci est unique. Notion de développements Limités Page 3 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique V– Applications des développements limités en zéro: 1) Déterminer } { 0 2 ; 2 1 sin 1 0 lim − − ∈ − →             π π x x x x ; Pour } { x x x x x x a On x sin sin 1 sin 1 0 2 ; 2 − = − − − ∈       π π . Ecrivons le développement limité d’ordre 3 de la fonction sinus en 0. 0 ) ( 0 lim ) ( 3 6 3 sin = → + − = x x avec x x x x x ε ε { } 0 ) 2 6 ( 0 lim 6 4 2 6 3 0 lim sin sin 0 lim sin 1 sin 1 0 lim , 0 ) 2 ; 0 ( = − → = − + − → = − → = − → − ∈ ∀       x x x x x x x x x x x x x x x x x I x π b) Déterminer ) 2 sin ( 0 lim x x x x e x − → . Cherchons les développements limités d’ordre 3 en 0. 0 ) ( 2 0 lim 0 ) ( 1 0 lim ) ( 2 3 6 3 ) ( 1 3 6 3 2 2 1 sin = → = → + − + + + + = ×             x x et x x avec x x x x x x x x x x x e ε ε ε ε 0 ) ( 0 lim ) ( 3 3 3 2 sin = → + + + = ×       x x avec x x x x x x x e ε ε 1 ) 3 3 ( 0 lim ) 2 3 2 3 3 ( 0 lim ) 2 3 3 2 ( 0 lim ) 2 sin ( 0 lim = + → = + → = − + + → = − → x x x x x x x x x x x x x x x x e x . VI– Développement limité en un point x0 = a : Si f admet une dérivée troisième en x0 ; elle admet un développement limité d’ordre n en x0=a qui s’écrit : ∀x ∈ I (0 ; r) ) ( ) ( ) ( ) ( ! ) ( .. ) ( ' ' ' ! 3 3 ) ( ) ( ' ' ! 2 2 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( x n a x a n f n n a x a f a x a f a x a f a x a f x f ε − + − + + − + − + − + = avec 0 ) ( lim = → x a x ε ( Formule de Taylor – Lagrange). Exemples : Déterminer les développements limités d’ordre 3 en x0 des fonctions suivantes : a) f(x) = lnx et x0=1 : b) f(x) = ex et x0 = 1 uploads/Litterature/ courdevlim.pdf