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Physique pour tous : Mécanique classique Alexandre Krajenbrink⇤† 24 février 201

Physique pour tous : Mécanique classique Alexandre Krajenbrink⇤† 24 février 2017 Table des matières 1 Introduction : une approche constructiviste 1 2 Liste d’observations 2 3 Construction d’une théorie classique 2 4 La cinématique 3 5 Référentiel galiléen 4 6 La quantité de mouvement et les forces 5 7 Lois de Newton 7 8 La force de gravitation 8 9 La force électrique 8 10 Les forces eﬀectives 9 10.1 Les forces de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10.2 Les forces de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 L’énergie 9 12 Référentiel non galiléen 11 13 Croyance en physique 13 A Complément de calcul diﬀérentiel 14 1 Introduction : une approche constructiviste Dans ce premier chapitre sur le mécanique classique, nous allons aller à l’encontre des cours de physiques généralement enseignés en classes préparatoires ou en première année de license. Nous allons reconstruire ensemble la physique classique de manière purement logique en se basant sur diﬀérents types d’observations, qui seront des observations de la vie de tous les jours. ⇤Laboratoire de Physique Théorique, Ecole Normale Supérieure, Paris †Contact : krajenbrink@lpt.ens.fr 1 Il ne sera en aucun cas question d’en rester au stade de la vulgarisation, et ce cours pré- sentera les concepts de manière logique et précise. Le minimum de notions mathématiques requises pour appréhender le sujet sera introduit. Dans cet exposé, les concepts passeront avant le formalisme mathématique, aﬁn de prouver que l’on peut faire de puissants raison- nements sans pour autant se cacher derrière un jeu d’équations. Dans le cadre du cours de physique pour tous, il est intéressant de se demander pour- quoi on cherche à reconstruire la mécanique classique, qu’on sait ne plus être vraie depuis le début du XXe siècle, et qui a été remplacée depuis par la mécanique quantique et la relativité. La mécanique classique permet en fait de décrire la quasi-totalité des situations qu’on rencontre dans la vie courante : pour construire un pont, une fusée ou même un avion, on n’a besoin de rien d’autre. Comme nous le verrons dans les prochains cours, les eﬀets relativistes apparaîssent à des vitesses proches de celle de la lumière, et la physique quantique apparaît quant à elle à des échelles spatiales de l’ordre de la taille d’un atome. Ces situations sont assez éloignées de ce qu’on vit au jour le jour... 2 Liste d’observations N’importe qui, vous comme moi, observons nombre de phénomènes physiques tous les jours, et nous nous sommes fondés une intuition physique dessus. C’est à partir de l’en- semble de ces observations que l’on va reconstruire la physique classique. Cette première énumération pourra sembler être une collection de lieux communs, mais nous verrons par la suite comment les exploiter dans leur intégralité pour développer une théorie cohérente. 1. Quand vous jouez au bowling, une fois la boule lancée 1, elle va garder une vitesse et une direction constante jusqu’à frapper les quilles. 2. Quand vous êtes au supermarché, il est plus dur de faire avancer un caddy plein qu’un caddy vide. 3. Quand vous êtes devant votre bureau sur votre fauteuil à roulette, si vous poussez le bureau, vous serez vous-même poussés en arrière. 4. Quand vous prenez un stylo sur votre table, si vous le lâchez, il va tomber. 5. Quand vous lâchez une balle de golf et une boule de pétanque de la même hauteur, elles vont arriver exactement en même temps au sol. 6. Quand vous êtes en voiture, si vous prenez un virage vers la gauche, vous serez poussés vers la droite de la voiture. 3 Construction d’une théorie classique Dans ce début de construction d’une théorie classique, notre système de prédilection sera le point matériel, pour se le représenter facilement, imaginez qu’un point matériel ressemble au plus petit grain de sable que l’on puisse trouver sur une plage. Nous ferons l’hypothèse que les objets se comportent comme des points matériels, que ce soient un stylo, une boule de pétanque ou encore un être humain. Grâce aux précédentes observations, nous allons pouvoir recréer une théorie de la méca- nique classique. Nous allons voir dans un premier temps que nous aurons besoin d’introduire les notions de cinématique puis de dynamique. Commençons par déﬁnir rapidement ces no- tions. 1. A moins que vous mettiez un eﬀet ou que la piste soit penchée... 2 Deﬁnition 3.1 (Cinématique). La cinématique est l’étude du mouvement des corps indé- pendamment de sa cause. Deﬁnition 3.2 (Dynamique). La dynamique est l’étude du mouvement des corps en inté- raction avec un environnement. 4 La cinématique Quand on étudie le mouvement d’un objet, on a besoin d’outils pour le décrire, avec l’observation (4) par exemple, le stylo va tomber à la verticale de haut en bas. Il y a dans cette description deux informations : la direction du mouvement, verticale, et son sens, de haut en bas. Grâce à ces outils, nous allons pouvoir catégoriser les mouvements possibles d’un point. Un point peut avoir un mouvement rectiligne, circulaire, elliptique... Le mouvement peut être uniforme, uniformément accéléré. Nous pouvons également imaginer des mouvements un peu plus complexes qui seraient une combinaison de plusieurs mouvements élémentaires, prenons l’exemple d’une roue de bicyclette, du fait de la rotation des roues, un point sur la roue aura un mouvement circulaire, mais à cause du mouvement rectiligne global du vélo, ce point aura aussi un mouvement rectiligne. Cette combinaison s’appelle le mouvement cycloïdal, il est représenté sur la ﬁgure 1. Figure 1 – Mouvement d’un point sur une roue de vélo, source http://3.bp.blogspot.com/-PSluYjFb2UE/ VqQHhMvBfZI/AAAAAAAABfA/hIeAT_YguBY/s1600/cycloide.jpg Pour décrire dans un cadre un peu plus formel la cinématique d’un point matériel, il est utile d’introduire les coordonnées spatiales et temporelles. On peut se demander quelle est l’utilité d’introduire ces coordonnées. En fait en suivant l’évolution de celles-çi, on peut reconstruire tout le mouvement de l’objet, et on peut également positioner un objet dans l’espace. Si vous partez en voyage un été, que vous voulez savoir où vous êtes, vous allez utiliser une carte ou un GPS qui ne sont ni plus ni moins que des systèmes de coordonnées ; de même, si vous voyagez en avion, le pilote va parfois donner une indication sur l’altitude du vol, ces coordonnées sont nécessaires pour prévoir le plan de vol et maîtriser le traﬃc aérien ; ﬁnalement, quand vous prévoyez un voyage en voiture, en connaissant l’évolution de votre position vous pouvez déterminer votre vitesse, et ainsi ne pas vous faire ﬂasher par les radars ! Remarque 4.1. Le système de coordonnées pourra changer selon votre problème, par exemple si vous étudiez le saut d’un parachutiste, son altitude sera principalement la co- ordonnée qui vous intéressera. Si vous étudiez le mouvement d’une boule de billard, vous prendrez un système de coordonnées adapté à la table de billard. Finalement, si vous étudiez la trajectoire d’un avion, sa latitute et longitude en fonction du temps seront les coordonnées à considérer. Exemple 4.1 (Coordonnées dans un espace à trois dimensions). Considérons un point M qui bouge dans l’espace, et un point de référence O par rapport auquel nous mesurons nos coordonnées, les coordonnées de M peuvent être exprimées par le vecteur ~ OM = (x, y, z). 3 Figure 2 – Exemple de système de coordonnées, source http://www.codinglabs.net/public/contents/article_world_ view_projection_matrix/images/coords_rh.png Une fois que l’on réussit à positioner un objet dans l’espace, il peut être intéressant de mesurer sa vitesse ou son accélération. Supposez que vous eﬀectuez un trajet en voiture, vous eﬀectuez 100 kilomètres en une heure, vous allez me dire que votre vitesse est 100 kilomètres par heure, cette information est vraie mais pas assez précise. La vitesse a-t-elle évolué durant l’heure ? Quelle était la vitesse de pointe durant l’heure ? Pour répondre à ces questions, nous avons besoin de déﬁnir la notion de vitesse instantanée. Appelons x(t) la coordonnée x d’un objet en fonction du temps t - par exemple l’altitude d’un parachutiste. Supposons qu’on regarde la position d’un objet à deux temps t1 et t2, la vitesse n’est que la distance parcourue par l’objet durant cet intervalle de temps. v = x(t2) −x(t1) t2 −t1 Que se passe-t-il si les deux instants t1 et t2 sont très proches l’un de l’autre ? Par exemple si sur un trajet d’une heure on mesure la position tous les dizièmes de seconde, on pourra obtenir une vitesse qu’on considérera comme instantanée. Mathématiquement, cela s’écrit de la manière suivante v(t1) = lim t2!t1 x(t2) −x(t1) t2 −t1 = x0(t1) Nous renvoyons à l’appendice A pour les déﬁnitions mathématiques des termes utilisés ici. Ce qu’il faut retenir ici c’est que la vitesse instantanée est la dérivée de la position d’un objet. De la même manière, on peut déﬁnir l’accélération d’un objet. Supposez que vous êtes au volant d’une voiture uploads/Litterature/ cours-1-meca-classique2-pdf.pdf