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Applications et fonctions reciproques usuelles td7

Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD Bijections et fonctions réciproques usuelles Injections surjections bijections Exercice corrigé Soit E F et G trois ensembles et f E ? F et g F ? G deux applications Démontrer que Si g f est injective alors f est injective Si g f est injective et f est surjective alors g est injective Si g f est surjective alors g est surjective Si g f est surjective et g est injective alors f est surjective Donner un exemple o? g f est bijective mais f n ? est pas surjective et g n ? est pas injective Exercice corrigé Étudier l ? injectivité la surjectivité la bijectivité de chacune des applications suivantes Si l ? une d ? entre elle est bijective donner son application réciproque f R x y ? ? R x y x ?? y g R x y ? ? R x y xy D ? après Banque PT sujet C h R ? ? R x y ? ? D x y y avec D X Y ?? R Y X Exercice corrigé Montrer que l ? application f C i ? C dé ?nie par f z z z ??i est bijective et expliciter son application réciproque Exercice corrigé Montrer que l ? application f C ? C dé ?nie par f z z z est bijective et expliciter son application réciproque Exercice corrigé Soient f N ? N qui à un entier k associe k et g N ? N qui à un entier k associe k si k est pair et k ?? si k est impair Étudier l ? injectivité la surjectivité et la bijectivité de f et g Préciser f g et g f Bijectivité de fonctions réelles Exercice corrigé Démontrer que la fonction f dé ?nie par ??x ?? f x ?? x réalise une bijection de dans et expliciter sa fonction réciproque CLycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI Donner l ? ensemble sur lequel la fonction réciproque est dérivable Exercice corrigé On considère la fonction réelle f dé ?nie sur R par f x ?? x x Montrer que la restriction de f à l ? intervalle ?? ? induit une bijection vers un ensemble que l ? on précisera Donner une expression simple de l ? application réciproque associée Reprendre la question ci-dessus avec la restriction de f à l ? intervalle ?? ? ?? Exercice corrigé Montrer que sh réalise une bijection de R sur R Sur quel intervalle sh ?? est-elle dérivable Donner une expression explicite de la bijection réciproque et construire sa représentation graphique sur le graphique ci-contre sur lequel la courbe représentative de sh a été tracée ?? ?? ?? ?? ?? Exercice corrigé On note f la fonction dé ?nie sur R par f x ex ex ?? e ??x e ??x Montrer que f induit une bijection de R vers un ensemble à préciser Pour x ?? ?? on pose g x ln x