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Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions

Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices S´ eries de fonctions Saiida LAZAAR D´ epartement de Math´ ematiques Informatique ENSA de Tanger Universit´ e AbdelMalek Essaadi Avril 2016 s.lazaar2013@gmail.com Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Pourquoi ´ etudiez-vous les S´ eries? Dans la pratique, les s´ eries de Fourier sont un exemple fort des s´ eries de fonctions; elles sont par exemple indispensables dans le traitement du signal et de l’image dont les applications autour de nous sont multiples (acoustique, multim´ edia, imagerie m´ edicale, t´ el´ ed´ etection satellitaire, t´ el´ ecommunications, etc.) Pr´ e-requis Suites num´ eriques, limites, d´ erivation, int´ egration dans R, espaces m´ etriques, espaces norm´ es. Et la bonne volont´ e!! Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Suites de fonctions et convergence simple Suites de fonctions D´ eﬁnition: Une suite de fonctions (fn)n, n ∈N de D dans K est une application: n 7− →fn de N dans l’ensemble des fonctions de D dans K. Convergence simple D´ eﬁnition: Une suite de fonctions (fn)n, n ∈N de D dans K converge simplement vers une fonction f si: ∀t ∈D, la suite (fn(t))n, n ∈N converge vers f (t). Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Convergence simple des suites de fonctions Proposition La suite de fonctions (fn)n, n ∈N de D dans K converge simplement vers une fonction f ssi ∀t ∈D, ∀ε > 0, ∃N ∈N/n ≥N ⇒|fn(t) −f (t)| ≤ε Exemple Soit (fn)n, n ∈N la suite de fonctions num´ eriques d´ eﬁnies sur R par fn(x) = sin(nx) n . L’in´ egalit´ e |fn(x)| ≤1 n valable pour tout x ∈R montre que la suite (fn)n, n ∈N converge simplement vers 0 la fonction nulle. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Convergence uniforme des suites de fonctions D´ eﬁnition Une suite de fonctions (fn)n∈N de D dans K converge uniform´ ement vers la fonction f si: ∀ε > 0, ∃N ∈N, n ≥N ⇒∀x ∈D, |fn(x) −f (x)| ≤ε Proposition La suite des fonctions (fn)n∈N de D dans K converge uniform´ ement vers f si: ∀ε > 0, ∃N ∈N, n ≥N ⇒supt∈D|fn(t) −f (t)| ≤ε Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Corollaire Soit (fn)n∈N une suite de fonctions d´ eﬁnies sur un domaine D et qui converge uniform´ ement vers une fonction f sur D. Si pour tout n ∈N, fn est continue sur D, f est aussi continue sur D. Th´ eor` eme Soit I un intervalle donn´ e. Si (fn)n∈N est une suite de fonctions continues en x0 ∈I qui converge uniform´ ement vers une fonction f sur I, alors f est continue en x0. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Exemple 1 Soit (fn)n, n ∈N la suite de fonctions num´ eriques d´ eﬁnies sur R par fn(x) = sin(nx) n . L’in´ egalit´ e |fn(x)| ≤1 n valable pour tout x ∈R montre imm´ ediatement que la suite (fn)n, n ∈N converge uniform´ ement vers 0 la fonction nulle. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Exemple 2 Soit (fn)n, n ∈N la suite de fonctions de R+ dans R d´ eﬁnie par fn(x) = x n+x , x ≥0. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Exemple 2 Soit (fn)n, n ∈N la suite de fonctions de R+ dans R d´ eﬁnie par fn(x) = x n+x , x ≥0. Cette suite converge simplement vers 0 mais la convergence n’est uniforme que sur les parties born´ ees de R+ . En eﬀet, |fn(x)| ≤ε ⇔n ≥1 −ε ε x Pour qu’elle soit v´ eriﬁ´ ee sur toute partie A de R, il faut et il suﬃt que l’on ait n ≥1−ε ε xA avec xA = sup(A). Ce n’est possible que si xA < ∞i.e A born´ ee. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Convergence uniforme: Illustration (http://sma.epﬂ.ch/) Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Convergence uniforme vers |x| (https://fr.wikipedia.org/) Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Convergence non uniforme de la suite (xn)n Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices S´ eries de fonctions D´ eﬁnition Une s´ erie de fonctions P+∞ i=0 fi(x) de terme g´ en´ eral fn de D dans K est form´ ee de deux suites de fonctions d´ eﬁnies sur D ` a valeurs dans K: ((fn)n∈N, (sn)n∈N) telles que: ∀x ∈D, ∀n ∈N, sn(x) = n X i=0 fi(x) ∀n ∈N, fn s’appelle le terme g´ en´ eral d’ordre n de la s´ erie de fonctions et sn s’appelle somme partielle d’ordre n. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Convergence simple de la s´ erie de fonctions D´ eﬁnition Une s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral fn d´ eﬁnie sur D ` a valeurs dans K converge simplement et a pour somme s si: ∀x ∈D, la s´ erie num´ erique de terme g´ en´ eral fn(x) converge et a pour somme s(x). Si la s´ erie converge simplement, ∀x ∈D, n ∈N, rn(x) = s(x) −sn(x) s’appelle le reste d’ordre n de la s´ erie. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Notations On note: s = P+∞ i=0 fi i.e ∀x ∈D, s(x) = limn→+∞ n X i=0 fi(x) . La convergence de la s´ erie s’exprime par la convergence de la suite de ses sommes partielles. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Convergence uniforme des S´ eries de fonctions D´ eﬁnition Une s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral un de D dans K converge uniform´ ement et a pour somme s si ∀ε > 0, ∃N ∈N tel que: n ≥N ⇒∀t ∈D, |sn(t) −s(t)| = | Pn i=0 ui(t) −s(t)| ≤ε Proposition Si une suite de fonctions (fn)n∈N converge uniform´ ement vers la fonction f , elle converge simplement vers f . La r´ eciproque est fausse. Si une s´ erie de fonctions de terme g´ en´ eral un converge uniform´ ement et a s pour somme, elle converge simplement et a s pour somme. La r´ eciproque est fausse. Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Crit` ere de Cauchy uniforme Th´ eor` eme a: Une suite de fonctions (fn)n∈N de D dans K converge uniform´ ement ssi: ∀ε > 0, ∃N ∈N tel que: p, q ≥N ⇒supt∈D|fp(t) −fq(t)| ≤ε Th´ eor` eme b: Une s´ erie de fonctions de somme partielle sn converge uniform´ ement ssi: ∀ε > 0, ∃N ∈N tel que: p, q ≥N ⇒supt∈D|sp(t) −sq(t)| ≤ε Professeur S. LAZAAR https://lazaarsaiida.wordpress.com Introduction Rappels sur les suites de fonctions Exemples S´ eries de fonctions Convergence uniforme des s´ eries de fonctions Crit` eres de convergence Exercices Preuve Supposons que (fn)n∈N converge uniform´ ement vers la fonction f : ∀ε > 0, ∃N ∈N tel que: n ≥N ⇒∀t ∈D, |fn(t) −f (t)| ≤ε/2 Soient p, q ≥N, nous avons: |fp(t) −fq(t)| = |fp(t) −f (t) −(fq(t) −f (t))| ≤|fp(t) −f (t)| + |fq(t) uploads/Litterature/ cours-series-de-fonction.pdf