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CHAPITRE 1 PROBABILITÉ-DÉNOMBREMENT: 1.1 Introduction à l’analyse combinatoire

CHAPITRE 1 PROBABILITÉ-DÉNOMBREMENT: 1.1 Introduction à l’analyse combinatoire Déﬁnition 1. Dans toute la suite, E désigne un ensemble ﬁni non vide possédant n éléments. Dénombrer une partie A de E, A ⊂E consiste à trouver son cardinal, i.e. le nombre de ses éléments, noté Card(A). Le problème se pose en général lorsque A est donné en compréhension, c’est-à-dire par une description des éléments de E qui font partie de A. Par exemple : "les mains de belote comportant un couple Valet-9", ou "les numéros de téléphone comportant 4 chiﬀres identiques". Ce dénombrement est particulièrement utile en probabilités, en situation d’équiprobabilité, puisque la probabilité d’un événement A est alors égale au cardinal de A divisé par le cardinal de l’univers. 1.1.1 Propriétés du cardinal Soient A et B deux sous-ensembles de l’ensemble E. Card(A ∪B) = CardA + CardB −Card(A ∩B) si A ∩B ̸= ∅ Card(A ∪B) = CardA + CardB si A ∩B = ∅ Exemple 1. Dans une classe de terminale, tous les élèves étudient au moins l’anglais ou l’allemand. Parmi eux 30 élèves étudient l’anglais, 20 élèves étudient l’allemand et 15 élèves étudient l’anglais et l’allemand. Quel est l’eﬀectif de la classe. Déﬁnition 2. Soit n un entier naturel non nul, Le nombre ”factorielle n”est l’entier noté n! et est égal au produit des n premiers entiers non nul. n! = n(n −1)(n −2)(n −3).................. × 3 × 2 × 1 1.2 Outils de dénombrement: 1.2.1 Les P-listes: Déﬁnition 3. Une p-liste d’éléments de E est une liste ordonnée de p éléments E. L’ensemble des p-listes est noté Ep Remarque 1. Dans une p-liste, un élément peut apparaître plusieurs fois, il peut aussi ne pas apparaître du tout. 1 1.2. OUTILS DE DÉNOMBREMENT: CHAPITRE 1. PROBABILITÉ-DÉNOMBREMENT: Théorème 1. Soit E un ensemble à n éléments et p un entier naturel non nul. Le nombre de p-liste de E est le nombre réel np. Exemple 2. Un cadenas à numéros a trois roues ; chacune porte les numéros 0 à 9. Combien de "nombres" secrets y a-t-il ? Il y’a trois roues, un chiﬀre peut se répéter dont on a un tirage successif avec remise donc un cas de p-listes: N = 103. 1.2.2 Arrangements sans remise Déﬁnition 4. Soit p un entier naturel p ≥1, E un ensemble ﬁni non vide. On appelle arrangement sans répétition, une disposition ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les n éléments de E . Théorème 2. Soit E un ensemble de n éléments, p un entier naturel tel que 1 ≤p ≤n Le nombre d’arrangement à p éléments est le nombre réel noté Ap n Ap n = n(n −1)(n −2) × ...................... × (n −p + 1) Exemple 3. Une urne contient 15 boules numérotés de 1 à 15.On en tire 3 boules, une à une sans remise. Combien y’a t-il de tirages possibles de 3 boules? Le tirage est fait sans remise et ordonné dont un cas d’arrangement sans remise et ça revient à:A3 15 = 15 ∗14 ∗13 = 15! (15 −3)! 1.2.3 Permutationou permutation sans remise Déﬁnition 5. C’est un cas particulier d’arrangement,c’est le cas où n = p. On appelle permutation de E, un arrangement à n éléments de E. Il y’a donc An n = n(n −1) × ........................ × (n −n + 1) possibilités Théorème 3. Soit E un ensemble à n éléments, le nombre de permutation des éléments de E est égal à n! Exemple 4. Avec trois objets x, y, z on peut obtenir 6 permutations : x, y, z, x, z, y, y, x, z, y, z, x, z, x, y et z, yx ce qui revient à 3! = 3 ∗2 ∗1 Exemple 5. Un parieur a sélectionné 3 chevaux parmi 15 chevaux avec lesquels il veut composer son tiercé. De combien de façon dispose t-il pour composer son tiercé dans l’ordre? Remarque 2. Permutation avec remise On appelle permutation avec répétition de p éléments où n sont distincts (n ≤p), une disposition ordonnée de l’ensemble de ces p éléments où le premier ﬁgure p1 fois, le second p2 fois, etc., tel que p1 + p2 + .......... + pn = p. Le nombre de permutation avec répétitions est égal à p! p1!p2!.........pn! Exemple 6. Soit le mot Mississipi 6, combien de permutations diﬀérentes obtient-on si a) on ne tient compte ni de la casse (majuscules, minuscules) ni des couleurs ? b) On tient compte de la casse et des couleurs ? ce qui revient à 11! 1!4!4!2! Chargé de Cours Diakalia KONE 2 ISA/USTTB 1.2. OUTILS DE DÉNOMBREMENT: CHAPITRE 1. PROBABILITÉ-DÉNOMBREMENT: 1.2.4 Combinaison de p éléments d’un ensemble sans remise Déﬁnition 6. Soit n un entier naturel n ≥1, p un entier tel que 1 ≤p ≤n. On appelle combinaison de p éléments de E, toute partie de E à p. Exemple 7. soit E{a, b, c} un ensemble à 3 éléments. Les parties de E ayant 2 éléments sont: {a, b} ;{a, c}; {b, c} Théorème 4. Soit n un entier naturel n ≥1, p un entier tel que 1 ≤p ≤n. Le nombre de combinaison à p éléments de E est noté Cp n ou n p Cp n = n! p!(n −p)! = Ap n p! Par convention Cn n = 1; C0 n = 1; C1 n = n Exemple 8. De combien de manières diﬀérentes peut-on gagner à l’euro-million ? Il faut choisir 5 numéros parmi 50 et 2 étoiles numérotées parmi 11. On a un tirage simultané sans remise de 5 parmi 50 et de 2 parmi 11: C5 50 ∗C2 11 1.2.5 Propriétés de Ap n, Cp n En posant par convention que 0 = 1! on a: 1 ≤p ≤n; Ap n = n! (n −p)!; 0 ≤p ≤n, Cp n = n! p!(n −p)! Cp n = Cp n−1 + Cp−1 n−1 Cp n = Cn−p n ; Cp+1 n+1 = Cp n + Cp+1 n Formule du BinÃ´me de Newton Pour tous nombres réels ou complexes on a: (a + b)n = n X p=0 Cp nan−pbp (a + b)n = n X p=0 Cp napbn−p an −bn = (a −b) n−1 X p=0 an−p−1bp Exemple: Calculer a3 −b3 a3 −b3 = (a −b) 3−1 X p=0 a3−p−1 = (a −b) 2 X p=0 a2−pbp = (a −b)(a2b0 + a1b1 + a0b2) a3 −b3 = (a −b)(a2 + ab + b2) a4 −b4 = (a −b) 4−1 X p=0 a4−p−1 = (a −b) 3 X p=0 a3−pbp a4 −b4 = (a −b)(a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3) a4 −b4 = (a −b)(a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3) Chargé de Cours Diakalia KONE 3 ISA/USTTB 1.2. OUTILS DE DÉNOMBREMENT: CHAPITRE 1. PROBABILITÉ-DÉNOMBREMENT: 1.2.6 Combinaison avec remise C’est une disposition non-ordonnée de p éléments, à choisir parmi n éléments discernables, avec répétition. Le nombre de combinaisons avec répétitions de n objets pris p à p est : Cp n = Cp n+p−1 Exemple 9. Les pièces sont constituées en disposant coˆ te à coˆ te deux éléments de l’ensemble {blanc, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si nous retournons un domino, nous changeons l’ordre des deux éléments, mais le domino reste identique (C’est donc une disposition non-ordonnée). Nous avons une combinaison avec répétition de 2 éléments pris parmi les 7, et au total il y a C2 7 = C2 7+2−1 = 28 dominos dans un jeu. Type de tirage et Opérations de dénombrement: 1. On dispose d’une urne de n boules dont n1 sont noires et n2 sont blanches. On tire p boules dans cette urne. Le nombre de tirages diﬀérents donnant p1 blanches et p2 noires (p1 + p2 = p) qu’on peut obtenir est : (a) Si les boules sont tirées simultanément on a: Cp1 n1Cp2 n2 | {z } choix des boules (b) Si les boules sont tirées successivement et sans remise on a: Ap1 n1Ap2 n2 | {z } choix des boules × Cp1 p |{z} choix de tirage (c) Si les boules sont tirées successivement avec remise on a: np1 1 np2 2 | {z } choix des boules × Cp1 p |{z} choix de tirage 2. On dispose d’une urne de n boules dont n1 boules sont noires, n2 boules sont blanches, n3 boules sont rouges. On tire p boules dans cette urne. Le nombre de tirages diﬀérents donnant p1 boules noires, p2 boules blanches, p3 boules rouges (p = p1 + p2 + p3) qu’on peut obtenir est: (a) Si les boules sont tirées simultanément on a: Cp1 n1Cp2 n2Cp3 n3 | {z } choix des boules (b) Si les boules sont tirées successivement et sans remise on a: Ap1 n1Ap2 n2Ap3 n3 | {z } choix des boules × Cp1 p Cp2 p−p1 | {z } choix de tirage (c) Si les boules sont tirées successivement avec remise on a: np1 1 np2 2 np3 3 × Cp1 p Cp2 p−p1 | {z } choix de tirage Chargé de Cours Diakalia KONE 4 ISA/USTTB 1.3. PROBABILITÉ: CHAPITRE 1. uploads/Litterature/ denombrement-2021.pdf