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www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Devoir surveille n°1 (2) 2iéme Bac S.M Exercice 1: (8points) Les questions de cet exercice sont indépendantes 1. Calculer les limites suivantes : 4 0 1 1 lim x x x x     et 3 3 6 1 lim . 1 x x x x x x    1pt 2. a) Calculer 0 lim 2 x x E x         . 1pt b) En déduire 0 2 limsin x x E x               0.5pt 3. a) Montrer que :   0 x ;   : 1 1 arctan arctan 1 4 x x x                  1pt b) Calculer 1 1 arctan 4 lim 1 x x x           et déduire  1 arctan 4 lim 1 x x x     1pt 4. Soit f une fonction continue sur   0;1 telle que       0;1 1; f   Montrer que :     0;1 c  tel que :  2 1 f c c  1pt 5. Soit g la fonction définie sur   1;1 – 0  par :  2 1 1 x x x g x x     Montrer que g admet un prolongement par continuité en 0 que l'on déterminera. 1pt 6. Soit f une fonction continue sur   0;1 telle que :  0 lim x f x   et  1 lim x f x   . On considère la fonction g définie par :         arctan 0;1 0 1 2 2 g x f x si x g et g            a) Montrer que g est continue sur   0;1 . 0.5pt b) En déduire que :     0;1 c  tel que :  0 f c  0.5pt 7. Montrer que :   IR x  ;  0 0 arctan x x x     . 0.5pt Exercice 2: 5points Soit f la fonction définie sur ; 2 2         par :    1 sin cos x f x x   1. Montrer que :  2 lim 0 x f x          et  2 lim x f x           1pt 2. a) Montrer que : ; 2 2 x               ;    2 1 sin cos x f x x    1pt guessmathsguessmaths www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 b) En déduire que f réalise une bijection de ; 2 2         vers IR 1pt 3. a) Montrer que : ; 2 2 x               ;  tan 4 2 x f x          1pt b) En déduire une expression de  1 f x  en fonction de r pour tout x de IR. 1pt Exercice 3: 5points Soit n f la fonction définie sur IR par :  2 2arctan 1 1 n n n x f x x          où n est un entier naturel impair. 1. a) Montrer que :   IR x  ! ; 2 2                 /  tan n x  . 1pt b) Montrer que :   IR x  ;    arctan n n f x x  . 1pt c) En déduire que : tan 2 1 8         1pt 2. Montrer que n f réalise une bijection de IR vers un intervalle J qu‘on déterminera. 1pt 3. Expliciter  1 n f x  pour tout x de J. 1pt Exercice 4: 2points Soit F la fonction définie par :  1 1 n F x nx    où  IN 1 n    . 1. Déterminer f D et calculer  lim x F x  et  0 lim x F x x  2. Montrer que F admet une fonction réciproque définie sur  1; . 3. Calculer  1 F x  pour tout x de   1; . 4. a) En utilisant l'inégalité de Bernoulli :  IN n    IR a   ;  1 1 n a na   Montrer que : 1; x n         ;  F x x  . b) Montrer que l'équation  F x x  admet une unique solution dans 1; n         uploads/Litterature/ devoir-1 67 .pdf