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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE : LIMITE - CONTINUITÉ - DÉRIVATION EDJA Kouamé

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE : LIMITE - CONTINUITÉ - DÉRIVATION EDJA Kouamé B. Table des matières Objectifs 4 I - Limites et branches infinies 5 1. Limite en un point ........................................................................................................................................... 5 2. Limite en l'infini ............................................................................................................................................. 6 3. Limite à gauche et à droite .............................................................................................................................. 6 4. Opérations sur les limites et branches infinies ................................................................................................ 7 5. Branches infinies ............................................................................................................................................. 7 II - Exercices 10 III - Continuité et prolongement par continuité 11 1. Continuité en un point ................................................................................................................................... 11 2. Prolongement par continuité ......................................................................................................................... 12 3. Le théorème des valeurs intermédiaires ........................................................................................................ 12 IV - Exercices 15 V - Dérivation 16 1. Dérivée en un point ....................................................................................................................................... 16 2. Somme, Produit, quotient ............................................................................................................................. 17 3. Dérivée de fonctions usuelles ....................................................................................................................... 17 4. Extremum local ............................................................................................................................................. 18 5. Exercice : ...................................................................................................................................................... 19 6. Exercice : ...................................................................................................................................................... 20 7. Exercice : ...................................................................................................................................................... 20 VI - Propriété des dérivées 21 1. Théorème de Rolle ........................................................................................................................................ 21 2. Théorème des accroissements finis ............................................................................................................... 21 3. Fonction monotonie et dérivée ..................................................................................................................... 21 4. Règle de l'Hospital ........................................................................................................................................ 22 Solutions des exercices 23 Bibliographie 25 Webographie 26 4 À la fin de cette leçon, vous serez capable : définir les propriétés d'une fonction dans un voisinage suffisamment petit d'un point donné ; de calculer les limites d'une fonction ; d'utiliser la notion de continuité pour résoudre des problèmes de calcul. maîtriser la notion de dérivée et son interprétation ; de calculer les dérivées de fonctions ; d'utiliser les théorèmes liés à la dérivée pour résoudre des problèmes de calcul. Objectifs Limites et branches infinies 5 - - 1. 2. 3. 4. 1. Limite en un point Soit une fonction définie sur un intervalle de . Soit un point de ou une extrémité de . Soit . On dit que a pour limite en si : On dit aussi que tend vers lorsque tend vers . On note alors Intuitivement, cette définition signifie que est aussi près de que l'on veut à condition de choisir suffisamment près de La définition de la limite précédente permet de dire qu'il y a équivalence entre écrire que tend vers et tend vers quand tend vers On peut remplacer certaines inégalités strictes « » par des inégalités larges « » dans la définition : . N'oubliez pas que l'ordre des quantificateurs est important, on ne peut pas échanger le avec le : le dépend en général du . O n d i t q u e a p o u r l i m i t e e n s i . On note alors . O n d i t q u e f a p o u r l i m i t e e n s i On note alors . Limites et branches infinies I Définition Remarque Définition Limite en l'infini 6 - - 1. 2. Intuitivement, cela signifie que lorsque s'approche de , devient très grand ( ) ou très petit ( ). Lorsqu'on est en présence d'une limite infinie ( ou ) en un point fini , on dit que la droite d'équation est une asymptote verticale à la courbe représentative de . 2. Limite en l'infini Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme . Soit . O n d i t q u e a p o u r l i m i t e e n s i : . On note alors . On dit que a pour limite en si : . On note alors . lorsque devient très grand (tend vers ) , devient très proche de . On définirait de la même manière la limite en pour des fonctions définies sur les intervalles du type . 3. Limite à gauche et à droite Soit une fonction définie sur un ensemble de la forme . On appelle limite à droite en de la limite de la fonction définie sur en et on la note . On définit de même la limite à gauche en de : la limite de la fonction définie en et on la note . Remarque Définition Définition Opérations sur les limites et branches infinies 7 - - - Si la fonction a une limite en , alors ses limites à gauche et à droite en coïncident et se valent . Considérons la fonction partie entière au point : • comme pour tout on a , on a limite a droite de est , • comme pour tout [ on a , on a limite a gauche est . Ces deux limites étant différentes, on en déduit que n'a pas de limite en . 4. Opérations sur les limites et branches infinies Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique. Soient deux fonctions et . On suppose que est un réel, ou que ou . Si pour tout , ( ou ), et , alors et , alors et , alors 5. Branches infinies ; pour déterminer la nature infinies, on calcule Si Si Remarque Exemple Théorèmes des majorations et encadrement Branches infinies 8 Si et , alors la droite d'équation est asymptote à à oblique Si et , alors la branche infinie est une branche parabolique oblique de pente Branches infinies 9 Exercices 10 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercices II Soit Déterminer, si elle existe en de . [ ] solution n°1 * [ ] p.23 Donner la limite en 2 de [ ] solution n°2 * [ ] p.23 la limite de en [ ] solution n°3 * [ ] p.23 Continuité et prolongement par continuité 11 1. Continuité en un point est continue en si elle est définie en et si c-à-d , est continue à droite (resp. à gauche) en si en ( ). Soit une fonction et un point de . Alors : On retiendra surtout l'implication : si est continue sur et si est une suite convergente de limite , alors ( ) converge vers . On l'utilisera intensivement pour l'étude des suites récurrentes : si est continue et , alors Soient et deux fonctions telles que . Si est continue en un point et si est continue en , alors est continue en . Continuité et prolongement par continuité III Proposition (suite et continuité) Exemple Proposition Proposition Prolongement par continuité 12 Soit un intervalle ou une réunion d'intervalles. Une fonction , définie sur , est dite continue sur , si est continue en tout point de . 2. Prolongement par continuité Soit un intervalle, un point de et une fonction. On dit que est prolongeable par continuité en si admet une limite finie en . Notons alors cette limite. On définit alors la fonction en posant pour tout si si Alors est continue en et on l'appelle l de en . e prolongement par continuité Soit la fonction définie par . On a On observe que : . est donc prolongeable en et sa fonction prolongée est . 3. Le théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction continue sur un segment. Pour tout réel compris entre et , il existe tel que . Une illustration du théorème des valeurs intermédiaires (figure de gauche), le réel n'est pas nécessairement unique. De plus si la fonction n'est pas continue, le théorème n'est plus vrai (figure de droite). Définition : Définition (Continuité sur un intervalle) Définition Exemple Théorème 1 (Théorème des valeurs intermédiaires) Remarque Le théorème des valeurs intermédiaires 13 Voici la version la plus utilisée du théorème des valeurs intermédiaires. Soit une fonction continue sur un segment. Si , alors il existe tel que . Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle. En effet, un tel polynôme s'écrit avec un entier impair. On peut supposer que le coefficient an est strictement positif. Alors on a et . En particulier, il existe deux réels a et b tels que et et on conclut grâce au corollaire précédent. Soit une fonction continue sur un intervalle . Alors est un intervalle. Il serait faux de croire que l'image par une fonction de l'intervalle soit l'intervalle (voir la figure ci-dessous). Soit une fonction continue sur un segment. Alors il existe deux réels et tels que . Corollaire 1. Exemple Corollaire 2. Attention Théorème 2. Le théorème des valeurs intermédiaires 14 Autrement dit, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Comme on sait déjà par le théorème des valeurs intermédiaires que est un intervalle, le théorème précédent signifie exactement que Donc m est le minimum de la fonction sur l'intervalle alors que est le maximum. Exercices 15 Exercice Exercice Exercice Exercice Exercices IV La fonction définie par admet-elle un prolongement par continuité en ?  Vrai  Faux [ ] solution n°4 * [ ] p.23 définie par : est-elle continue ?  Vrai  Faux [ ] solution n°5 * [ ] p.23 Soient deux fonctions continues. Quelles sont, parmi les fonctions suivantes, celles dont on peut affirmer qu'elles sont bornées :    [ ] solution n°6 * [ ] p.24 Lesquelles des fonctions suivantes admettent une racine  uploads/Litterature/ fonctions-d-x27-une-variable-reelle-limite-continuite-derivation 1 .pdf