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www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Devoir surveille n°2 et son corrigé 1er Semestre 2 Bac S.M Exercice 1 ( 2.5 pts ) Considérons la fonction f définie par :        1 1 Arctan 2 1 1 n n n x x f x x      , avec n un entier impair 3 . 1 pt 1) Déterminer f D l’ensemble de définition de f . 1,5 pt 2) Montrer que f admet un prolongement par continuité à droite en1 ; f à déterminer. Exercice 2 ( 6 pts ) Pour tout entier naturel n tel que 5 n  , considérons la fonction n f définie sur  0;1 Par :   Arctan n f x n x    . 1) Soit n un entier tel que 5 n  . 1 pt a- Montrer que la fonction n f est strictement croissante sur   0;1 . 1 pt b- Montrer que     ! 0;1 n x   /   0 n n f x  . 2) Soit   n x la suite ainsi définie. 2 pt a- Montrer que la suite   n x est strictement décroissante, puis déduire qu’elle est convergente. 1 pt b- Montrer que :   5 n  tan n x n   . 1 pt c- Déterminer lim n n x  . Exercice 3 ( 9.5 pts ) Considérons la fonction f définie sur ; 6 6         par : si 2 ) n ( f x x  . 1) Montrer que la fonction f réalise une bijection de l’intervalle , ; 6 6         vers un intervalle J à déterminer 2) Soit 1 f  la fonction réciproque de f. 0,5 pt a- Montrer que 1 f est impaire. 0,5 pt b- Donner le tableau de variations de 1 f . 1 pt c- Montrer que :   x J  ;    1 2 cos 2 1 f x x    . 0,5 pt 3) a- Calculer 8 f        et 6 f        . 1 pt b- Montrer que 1 f est dérivable en 2 2 et que :   1 2 2 2 2 f          guessmathsguessmaths www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 4) Considérons g la restriction de la fonction 2 2 à l’intervalle 3 0; 2       et considérons la suite ( ) n u définie par : 0 1 2 u  et   IN n  ;   1 n n u g u  1 pt a- Montrer que la suite ( ) n u est bien définie. 1,5 pt b- Montrer que : 3 0; 2 x                ; ( ) g x x  . 1 pt c- Montrer que ( ) n u est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente 1 pt d- Prouver que lim 0 n n u   Exercice 4 ( 2pts ) Soient 1 ( ) n n u et 1 ( ) n n v les deux suites réelles définies par:   3 10 210 n n n u E   et 10 n n n v u    Montrer que 1 ( ) n n u et 1 ( ) n n v sont adjacentes et qu’elles convergent vers 3 2 Corrigé Exercice 1        1 1 Arctan 2 1 1 n n n x x f x x      , avec   2 1/ IN n k+ k   1) Détermination de f D Soit IR x , comme n est impair alors 1 n  est pair, donc   1 1 0 n x    . On sait que pour tout IR x ,  Arctan x a le même signe que x , donc, on a :       Arctan 2 1 0 1 0 f n x et x x D           2 1 0 1 0 n x et x       1 0 x >     1; f D  .. 2) Montrons que f admet un prolongement par continuité à droite en 1 On a :        1 1 1 1 Arctan 2 1 lim lim 1 n n n x x x x f x x                  1 1 1 Arctan 2 1 lim 1 n n n n x x x x            1 Arctan 2 1 lim 1 n n x x x            1 Arctan 2 1 lim 2 2 1 n n n n x x x       www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896       1 Arctan 2 1 lim 2 2 1 n n n n n x x x             1 Arctan 2 1 lim2 2 2 1 n n n x x x        ( Car       1 Arctan 2 1 lim 1 2 1 n n x x x      , puisque   0 Arctan lim 1 X X X    ;en posant   2 1 n X x   ). Et comme  1 lim 2 IR x f x     alors la fonction f admet un prolongement par continuité à droite en1, qui est la fonction f définie sur l’intervalle   1; par :         1 1 Arctan 2 1 1 : 1 1 2 n n n x x f x si x > f x f              Exercice 2 IN n et 5 n  .     0;1 x  ;   Arctan n f x n x    1) a-Montrons que n f est strictement croissante sur   0;1 Comme la fonction Arctan est strictement croissante surIR ; et en particulier sur   0;1 et comme 0 n > alors la fonction n f est strictement croissante sur   0;1 . b- Montrons que     ! 0;1 n x   /   0 n n f x  . On a la fonctionArctan est continue surIR et en particulier sur  0;1 alors la fonction n f est continue sur   0;1 et on a n f est strictement croissante sur  0;1 , et comme  0 0 n f <   et    1 4 0 4 4 n f n n >        (car 5 n  ) alors   0 1 0 n n f f <  . Et par suite d’après TVI     ! 0;1 n x   /   0 n n f x  . 2) a) Montrons que la suite   5 n n x est strictement décroissante On a   5 n  ;     1 Arctan 0 n n n n n f x f x x >    puisque   5 n  ; 0 n x > et   0 x >  ; Arctan 0 x > . Donc on a :   5 n  ;     1 n n n n f x < f x  et comme   5 n  ;     1 1 0 n n n n f x f x    alors on a :   5 n  ;     1 1 1 n n n n f x < f x    . Et comme 1 n f est st. croissante sur   0;1 et 1 n x  et n x sont des éléments de   0;1 alors   5 n  ; 1 n uploads/Litterature/ devoir-10 6 .pdf