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P a g e 1 | 3 Février 2017 - corrigé EXERCICE 1 [5 POINTS] 1. Formule : « = SOM

P a g e 1 | 3 Février 2017 - corrigé EXERCICE 1 [5 POINTS] 1. Formule : « = SOMME(B2 : H2) » ou « = B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2 ». 2. M = 324 + 240 + 310 + 204 + 318 + 386 + 468 7 = 2 250 7 ≈ 321 . 3. Il y a 7 valeurs dans cette série : 204 – 240 – 310 – 318 – 324 – 386 – 468. La médiane est la valeur qui partage l’effectif en deux groupes de même effectif, donc il faut prendre la 4ème valeur de la série ordonnée. m = 318 . 4. 468 – 204 = 264 . Il s’agit de l’étendue de la série car on calcule la différence entre la valeur a plus grande et la valeur la plus petite. EXERCICE 2 [2 points] Notons n le nombre de macarons mangés par Pascale. Alexis a mangé 4 macarons de plus que Pascale donc il en a mangé n + 4. Pascale en a mangé deux fois moins que Carole, ou Carole a mangé deux fois plus de macarons que Pascale. Donc Carole en a mangé 2n. Alexis, Pascale et Carole se partagent deux boîtes de 12 macarons chacune, soit en tout 24 macarons. On peut donc écrire : n + (n + 4) + 2n = 24 n + n + 4 + 2n = 24 4n + 4 = 24 4n + 4 – 4 = 24 – 4 4n = 20 4n : 4 = 20 : 4 n = 5. n + 4 = 5 + 4 = 9 2n = 2×5 = 10 Vérification : 5 + (5 + 4) + 2×5 = 5 + 9 + 10 = 24. Pascale a donc mangé 5 macarons, Alexis en a mangé 9 (5 + 4) et Carole en a mangé 10 (2×5). EXERCICE 3 [6 points] 1. (3 + 1)² - 3² = 4² - 3² = 16 – 9 = 7. 2. Voici deux affirmations : Affirmation n° 1 : « Le chiffre des unités du résultat obtenu est 7 ». Affirmation n° 2 : « Chaque résultat peut s’obtenir en ajoutant le nombre entier de départ et le nombre entier qui le suit ». a. Pour 8 : (8 + 1)² – 8² = 9² – 8² =81 – 64 = 17. Le chiffre des unités est 7 donc l’affirmation 1 est vérifiée. 8 + 9 = 17. L’affirmation 2 est vérifiée. Pour 13 : (13 + 1)² – 13² = 14² – 13² = 196 – 169 = 27. Le chiffre des unités est 7 donc l’affirmation 1 est vérifiée. 13 + 14 = 27. L’affirmation 2 est vérifiée P a g e 2 | 3 b. Affirmation 1. Appliquons le programme au nombre 0 : (0 + 1)² - 0² = 1 – 0 = 1. Le chiffre des unités n’est pas 7 donc l’affirmation 1 est fausse. Affirmation 2. Vérifions si, pour tout nombre entier n, on a l’égalité : (n + 1)² - n² = n + (n + 1). Je développe les deux membres de l’égalité :    (n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 – n² = 2n + 1 n + (n + 1) = 2n + 1 . Les formes développées et réduites sont les mêmes donc l’égalité est vraie pour tout nombre entier n et l’affirmation 2 est vraie. EXERCICE 4 [6 points] 1. Carole peut utiliser des carreaux de 3 cm de côté car 3 est un diviseur commun de 108 et de 225 (108 = 3× 36 et 225 = 3 × 75). Carole ne peut pas utiliser des carreaux de 6 cm de côté car 6 n’est pas un diviseur de 225 : 225 = 6×37 + 3. 2. 108 = 2²×33 et 225 = 3²×5². 3. Le plus grand diviseur commun de 108 et 225 est 3² = 9 donc la dimension maximale des carreaux que Carole peut poser est de 9 cm. 108 = 9 × 12 et 225 = 9 ×25. Il y aura donc 12 carreaux sur la largeur et 25 sur la longueur soit un nombre total de 12 × 25 = 300 carreaux. EXERCICE 5 [5 points] Figure 1 : Sur la figure, BC = CJ = JA = 6 cm donc CA = CJ + JA = 6 + 6 = 12 cm. Le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC². D’où 12² = AB² + 6² 144 = AB² + 36 144 – 36 = AB² AB² = 108. Donc AB = 108 ≈ 10,4. [AB] mesure 10,4 cm, valeur arrondie au mm. Figure 2 : Le triangle ABC est rectangle en A. On connaît la mesure de l’angle ACB et celle de l’hypoténuse [BC]. On cherche la mesure de [AB], côté adjacent à ACB. J’utilise la définition du sinus : sin ACB = AB BC , d’où sin (53°) = AB 36 et AB = 36×sin(53°) ≈ 28,8. [AB] mesure 28,8 cm, valeur arrondie au mm. Figure 3 : La longueur d’un cercle est obtenue en effectuant π×diamètre. 154 = π×AB, d’où AB = 154 : π ≈ 49. [AB] mesure 49 cm, valeur arrondie au mm. P a g e 3 | 3 EXERICE 6 [6 points] 1. Le pylône est vertical donc perpendiculaire à la chaussée. ACD est un triangle rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore, on a : CD² = AC² + AD² d’où CD² = 76² + 154² = 5 776 + 23 716 = 29 492. CD = 29 492 ≈ 172 . La longueur du hauban [CD] est de 172 m, au mètre près. 2. ACD est un triangle rectangle en A. On connaît les mesures de [AC], côté opposé à CDA et de [AD], côté adjacent à CDA. J’utilise la définition de la tangente : tan CDA = AC/AD = 76 154. La calculatrice nous indique : CDA = arctan (76 : 154) ≈ 26. L’angle CDA formé par le hauban [CD] et la chaussée est de 26°, au degré près. 3. Les points A, E et C et les points A, F et D sont alignés dans le même ordre. AF = AD – FD = 154 – 12 = 142. AE = AC – EC = 76 – 5 = 71. Vérifions si AC AE = AD AF :    AC AE = 76 71 AD AF = 154 142 . Les rapports sont égaux si et seulement si les produits en croix sont égaux : 76 × 142 = 10 792 et 71 × 154 = 10 934. On a donc AC AE  AD AF. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (CD) et (EF) ne sont pas parallèles. Les haubans [CD] et [EF] ne sont pas parallèles. EXERCICE 7 [6 points] 1. 19 × 1,2 = 22,8 . Le prix au m2 des « tuiles régence » est de 22,80 €. 2. Les points B, C et D sont alignés dans cet ordre donc CD = BD – BC = 3,10 – 2,10 = 1 m. CDE est un triangle rectangle en C. On connaît les mesures de [EC], côté adjacent à DEC, et celui de [CD], côté opposé à DEC. J’utilise la définition de la tangente : tan DEC = CD CE = 1 2,85. D’où DEC ≈ 19,3 . 19,3 > 15 et 19,3 > 18. La pente du toit de la véranda est de plus de 19° et permet la pose des deux modèles. 3. Calcul de DE : CDE est un triangle rectangle en C. D’après le théorème de Pythagore, on a : DE² = DC² + CE² = 1² + 2,85² = 1 + 8,1225 = 9,1225. D’où DE = 9,1225. Surface à couvrir : DEFG est un rectangle donc S = DE ×EF = 6,10 × 9,1225 ≈ 18,424 m². Augmentation de 5% : 18,42 × 5/100 = 18,424×0,05 = 0,9212 m². Surface totale : 18,424 + 0,9212 = 19,3452 m². Il faut donc prévoir des tuiles pour couvrir une surface de 20 m². Il faut 13 tuiles romanes par m² donc il faudra 13×20 = 260 tuiles romanes. uploads/Litterature/ devoir-commun-daguerre-3eme-2017-corrige.pdf