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Cours de Renforcement ou à domicile Maths-PC-SVT : 78.192.84.64-78.151.34.44 1

Cours de Renforcement ou à domicile Maths-PC-SVT : 78.192.84.64-78.151.34.44 1 Visiter notre site pour vous ressourcer en Maths-PC-SVT : www.Axloutoth.sn Siège : Point E (DAKAR) Exercice 1 : On considère le polynôme H défini par : H(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d où a, b, c et d sont des réels. On considère la propriété (P): pour tout réel x, on a H(x) = H(2 −x) 1) Montrer que H vérifie la propriété (P) si et seulement si a = −4 et c = 8 −2b. 2) On suppose alors que H vérifie (P). Montrer que H peut s’écrire sous la forme : H(x) = (x2 −2x)2 + (b −4)(x2 −2x) + d avec b, d des réels. 3) Application : Résoudre dans ℝ l’équation x4 −4x3 + 8x2 −8x −5 = 0. Exercice 2 : On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l’autre. Exemple : f(x) = 3x4 + x3 −x2 + x + 3 Nous allons voir des méthodes permettant de résoudre l’équation f(x) = 0. 1) Degré 2 : Soit f: x ⟼ax2 + bx + a, a ≠0 Résoudre f(x) = 0 et dans le cas où f admet deux racines distinctes, les comparer. 2) Degré 3 : Soit f: x ⟼ax3 + bx2 + bx + a, a ≠0 a) Montrer que 0 n’est pas racine de f et que si x1 est une racine de f, alors 1 x1 est aussi racine de f. b) Trouver une racine évidente de f et en déduire une factorisation de f(x) c) Discuter le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 d) Application : f: x ⟼7x3 −43x2 −43x + 7 Résoudre l’équation f(x) = 0 et factoriser f(x) 3) Degré 4 : Soit f: x ⟼ax4 + bx3 + cx2 + bx + a, a ≠0 a) Montrer que 0 n’est pas racine de f et que si x1 est une racine de f, alors 1 x1 est aussi racine de f. 4) Soit y = x + 1 x Année Scolaire : 2018-2019 Lycée : Cours d’Excellence d’Encadrement Scientifique de Axlou Toth Devoir N°1 du Premier Semestre Niveau : 1S1/C Professeurs : M. Diallo & M. Sarr Axlou Toth pour l’Innovation Cours de Renforcement ou à domicile Maths-PC-SVT : 78.192.84.64-78.151.34.44 2 Visiter notre site pour vous ressourcer en Maths-PC-SVT : www.Axloutoth.sn Siège : Point E (DAKAR) a) Déterminer l’expression de g(x) = f(x) x en fonction de a, b, c, y et y² b) Montrer que f(x) = 0 revient à résoudre successivement deux équations du second degré c) Montrer que si b2 < 4a(c −2a), f(x) = 0 n’a pas de solutions. d) Application : Résoudre l’équation : 12x4 + 11x3 −146x2 + 11x + 12 Exercice 3 : ABC est un triangle. On note BC = a, CA = b et AB = c. L’objectif de cet exercice est de trouver des réels affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, l’orthocentre H ou O le centre du cercle circonscrit au triangle soient des barycentres des sommets. Partie A : Le centre du cercle inscrit. A′ est le pied de la bissectrice de BAC. A′ est donc équidistant des cotés de l’angle BAC. On note d cette distance et h la longueur de la hauteur issue de A. 1) Montrer que A′B A′C = c b puis en déduire que A′ est le barycentre de {(B, b), (C, c) } 2) B′et C′ sont les pieds des bissectrices de ABC et ACB. Exprimer B′ comme barycentre de C, A et C′ comme barycentre de A et B. 3) Prouver que I est le barycentre de {(A, a), (B, b), (C, c)} Partie B : Orthocentre et centre du cercle circonscrit On se place dans le cas ou les angles de ABC sont tous aigus. On pose BAC ̂ = α, ABC ̂ = β et ACB = θ. A1 est le pied de la hauteur issue de A. 1) Prouver que : A1B A1C = tan θ tan β. 2) Déduisez-en que A1est le barycentre de {(B, tan β), (C, tan θ)}. 3) Enoncer les résultats analogues pour les pieds B1 et C1 des hauteurs issues de B et C. 4) Prouver que H, orthocentre de ABC est barycentre de {(A, tan α), (B, tan β), (C, tan θ)} 5) MNP sont les milieux de [BC], [CA]et [AB]. a) Justifier que les médiatrices du triangle ABC sont des hauteurs du triangle MNP. b) Exprimer alors O comme le barycentre de M, N et P. c) Déduisez-en que O, centre du cercle circonscrit à ABC, est le barycentre A, B et C affectés des coefficients que vous préciserez. Récréation mathématique : « Si six chats chopent six souris en six secondes ………………………... Cent chats chopent cent souris en cent secondes » uploads/Litterature/ devoir-n01-1s1-semestre-1-www-axloutoth-sn.pdf