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Examen de 2e Session - Probabilités Avancées Réponses à mettre en ligne au plus

Examen de 2e Session - Probabilités Avancées Réponses à mettre en ligne au plus tard le Vendredi 19 juin à 19h00 La clarté de la rédaction et de la présentation, ainsi que la précision des raisonnements et des arguments entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Rappel : - Pour n ≥1, log(n) ≤ n X m=1 1 m ≤1 + log(n), où log désigne le logarithme népérien. Problème. Soit (Zn)n≥1 une suite de variables aléatoires et soit p > 0. 1. Justiﬁer soigneusement que ∀ε > 0, P(|Zn| > ε) ≤E [|Zn|p] εp . 2. Montrer que si E [|Zn|p] converge vers 0 lorsque n tend vers +∞, alors (Zn)n≥0 converge vers 0 en probabilité. 3. Soit (Sn)n≥1 une suite de variables aléatoires. On note µn := E[Sn] et σ2 n := V ar(Sn), où V ar désigne la variance. Soit (bn)n≥1 une suite de réels telle que σ2 n b2 n converge vers 0 lorsque n tend vers +∞. En utilisant la question précédente avec p = 2, montrer que Sn −µn bn converge vers 0 en probabilité. 4. Soit (Xj)j≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur l’ensemble ﬁni {1, . . . , n}. On suppose que Xi représente le tirage à l’instant i d’une carte parmi n cartes (de sport) possibles. Soit τ n k le premier instant où on a obtenu k cartes diﬀérentes. En particulier, Tn := τ n n désigne le temps nécessaire pour obtenir un exemplaire de toutes les cartes. Que représente la variable aléatoire Xn,k := τ n k −τ n k−1 (k ≥1) ? (On déﬁnit τ n 0 := 0.) Xn,k est-elle indépendante de Xn,j pour 1 ≤j < k ? 5. Calculer P(Xn,k = ℓ), pour ℓ≥1. 6. Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire Xn,k. Montrer que E[Tn] n log(n) converge vers 1 lorsque n tend vers +∞. 7. En utilisant le résultat de la question 3., montrer que Tn −n Pn m=1 1 m n log(n) converge vers 0 en probabilité, lorsque n tend vers +∞. 8. Combien faut-il rencontrer en moyenne de personnes diﬀérentes aﬁn de connaître une personne née chaque jour diﬀérent de l’année ? (En supposant qu’une année comporte 365 jours.) 1 uploads/Litterature/ exam-probabilites-avancees.pdf