Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 01 juin 2015 Devoir surveillé no 11 (4 he

Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 01 juin 2015 Devoir surveillé no 11 (4 heures) Ce devoir est constitué de plusieurs exercices. L'ordre des exercices ne correspond à aucun critère de di culté ou de longueur : vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous voulez. Veillez à soigner la copie tant pour l'écriture, la propreté que pour la rédaction, la rigueur et l'argumentation. On rappelle que la série X un peut aussi être appelée la série de terme général un . La calculatrice est interdite. Vous numéroterez vos copies et ferez apparaître clairement sur la première page le nombre de copies. EXERCICE I : Convergence d'une série On considère la suite (un)n∈N dé nie par u0 = 1 et, pour tout n ∈N, un+1 = 2n + 2 2n + 5 un. 1. (a) Montrer que la suite (un)n∈N converge. On note ℓsa limite. (b) Montrer que la série de terme général (ln (un) −ln (un+1)) est une série divergente. (c) En déduire la valeur de ℓ 2. Soit α ∈R. Pour n ∈N∗, on pose : vn = (n + 1)α un+1 nα un (a) Montrer que : ln (vn) = 1 n  α −3 2  + 1 n2 21 8 −α 2  + ◦  1 n2  . (b) Déterminer alors α pour que la série de terme général ln (vn) converge. On note S la somme de cette série. 3. (a) Montrer que un ∼eS u1 n3/2 (b) En déduire que la série X un converge (c) Montrer, à l'aide de changements d'indice dans les sommes de gauche, que pour tout n ∈N, 2 n+1 X k=1 k uk + 3 n+1 X k=1 uk = 2 n X k=0 k uk + 2 n X k=0 uk (d) Obtenir alors la somme +∞ X n=0 un EXERCICE II : Calculs de déterminants 1. On note A = (ai,j)1⩽i,j⩽n où ai,j = max(i, j). Calculer det(A) 2. (a) Calculer 5 2 0 3 5 2 0 3 5 . Calculer 5 2 0 0 3 5 2 0 0 3 5 2 0 0 3 5 (b) On pose Dn = 5 2 0 · · · 0 3 5 2 0 . . . 0 ... ... ... . . . . . . ... 3 5 2 0 · · · 0 3 5 déterminant de la matrice (n, n) ayant des 5 sur la diagonale, 3 juste en dessous et 2 juste au dessus. i. A l'aide de développements selon des rangées, exprimer Dn+2 en fonction de Dn+1 et Dn. ii. En déduire Dn en fonction de n, de D3 et D4, puis en fonction de n seulement. 1 Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 01 juin 2015 EXERCICE III : Réduction d'une matrice On note f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique B = (e1, e2, e3) est : A =   −2 5 2 −1 4 2 2 −10 −5   1. (a) Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique χA de A dé ni par : χA(x) = det (xI3 −A). (b) Montrer que A possède une et une seule valeur propre dans C, que l'on notera a. (c) La matrice A est-elle inversible ? (d) Déterminer une base du sous-espace propre associé à la valeur propre a. 2. On pose : u1 = e1 , u2 = (f −aIdR3) (e1) , u3 = 2e1 + e3 et C = (u1, u2, u3). (a) Montrer que C est une base de R3 et véri er que u2 et u3 sont des vecteurs propres de f. (b) Ecrire la matrice T de f dans la base C . (c) On note P la matrice de passage de la base B à la base C . Déterminer P −1. (d) Pour tout n ∈N, calculer T n puis en déduire explicitement An PROBLEME I : Nombre de mots sans doublon dans un alphabet On utilise un alphabet comportant m caractères avec m ⩾2. On note Mm le nombre de mots que l'on peut écrire avec cet alphabet et comportant au plus une fois chaque caractère de l'alphabet ( un mot comporte toujours au moins un caractère ). 1. Que vaut M5 ? 2. Montrer que : ∀a ∈R, ∀n ∈N, ea = n X k=0 ak k! + Z a 0 (a −t)n n! et dt. En déduire la convergence et la somme de la série X n⩾0 an n! 3. (a) Montrer que : Mm = m! m−1 X k=0 1 k! (b) Ecrire une fonction Python qui calcule Mm pour un entier m choisi par l'utilisateur. 4. On xe m. Pour tout p ∈N, on pose : up = p X k=m 1 k! (a) Montrer que up possède une limite L lorsque p tend vers +∞. (b) Montrer que : Mm = m! (e −L). (c) Véri er que : ∀p ⩾m, 1 m! ⩽ p X k=m 1 k! ⩽ 1 m! p−m X k=0 1 (m + 1)k (d) En déduire : 1 m! ⩽L ⩽1 m!  1 + 1 m  (e) En déduire en n : 1 ⩽m! e −Mm ⩽1 + 1 m 5. Montrer que : Mm = j m! e k −1 6. On suppose que le caractère A fait partie de l'alphabet utilisé (alphabet qui possède toujours m caractères...). (a) Parmi les mots dénombrés ci-dessus, combien commencent par A ? (b) Parmi les mots dénombrés ci-dessus, combien contiennent le caractère A ? 2 Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 01 juin 2015 correction EXERCICE I : Convergence d'une série (un)n∈N dé nie par u0 = 1 et ∀n ∈N, un+1 = 2n + 2 2n + 5 un. 1. (a) La suite (un)n∈N est décroissante et minorée par 0 donc (un)n∈N converge . On note ℓsa limite. (b) Soit n ∈N. On a ln (un)−ln (un+1) = ln  1 + 5 2n  −ln  1 + 1 n  = 3 2n −21 8n2 +◦  1 n2  ∼3 2n. Ainsi par comparaison à une série de Riemann divergente, la série de terme général (ln (un) −ln (un+1)) diverge . (c) La suite (ln (u0) −ln (un))n∈N diverge vers +∞donc (un)n∈N converge vers ℓ= 0 2. Soit α ∈R. Pour n ∈N∗, on pose : vn = (n + 1)α un+1 nα un (a) ln (vn) = α ln  1 + 1 n  −ln  1 + 5 2n  + ln  1 + 1 n  . Donc ln (vn) =  α −3 2  1 n + 21 8 −α 2  1 n2 + ◦  1 n2  . (b) En prenant α = 3 2 , on a ln (vn) ∼15 8n2 doonc la série de terme général ln (vn) converge. On note S la somme de cette série. 3. (a) Pour n ∈N∗, n X k=1 ln (vn) = ln (n + 1)3/2un+1  −ln (u1). Ainsi, par continuité de la fonction exponentielle, n3/2un tend vers S u1 lorsque n tend vers +∞i.e. un ∼eS u1 n3/2 (b) Par comparaison à une série de Riemann convergente, la série X un converge . (c) Soit n ∈N. Σ = 2 n+1 X k=1 k uk+3 n+1 X k=1 uk = 2 n X k=0 (k + 1) uk+1+3 n X k=0 uk+1 = 2 n X k=0 (k + 1)(2k + 2) 2k + 5 uk+ 3 n X k=0 2k + 2 2k + 5uk = n X k=0 4k2 + 14k + 10 2k + 5 uk = n X k=0 (2k + 2)uk. Ainsi 2 n+1 X k=1 k uk + 3 n+1 X k=1 uk = 2 n X k=0 k uk + 2 n X k=0 uk (d) On pose Sn = n X k=0 uk et Tn = n X k=0 k uk. On a : 2 (Tn + (n + 1)un+1) + 3 (Sn + un+1 −u0) = 2Tn + 2Sn. Ainsi Sn = 3u0 −3un+1 −2(n + 1)un+1. Donc +∞ X n=0 un = 3 3 Lycée Marceau MPSI 2014/2015 Le lundi 01 juin 2015 EXERCICE II : Calculs de déterminants 1. det(A) = 1 2 3 · · · n 2 2 3 · · · . . . 3 3 3 · · · . . . . . . · · · · · · · · · n n · · · n n n = 1 2 3 · · · n 1 0 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 . . . ... ... ... 0 1 1 · · · 1 0 en enlevant chaque ligne à la suivante. Puis en développant selon la dernière colonne et en constatant que le cofacteur du seul coe cient non nul provient d'une matrice triangulaire, on en déduit : det(A) = (−1)n n 2. (a) 5 2 0 3 5 2 uploads/Litterature/ ds11-serie.pdf

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