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Université Ibn Zohr Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales Ana

Université Ibn Zohr Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales Analyse mathématique II Mohamed HACHIMI FILIERE SCIENCES ECONOMIQUES ET GESTION PREMIERE ANNEEEG Semestre 2 Plus de Cours à Télécharger Gratuitement sur : www.coursfsjes.com Table des matières 1 Suites 3 1. Déﬁnitions 3 2. Suites convergentes 3 3. Opérations sur les limites 7 4. Théorèmes de comparaisons 8 5. Suites récurrentes 9 6. EXERCICES 12 2 Séries 13 1. Déﬁnitions 13 2. Convergence 13 3. Séries à termes positifs 16 4. Séries à termes quelconques 18 5. EXERCICES 19 3 Mathématiques ﬁnancières 20 1. Les intérêts simples 20 2. Les intérêts composés 26 3. Equivalence 30 4. Les annuités 33 5. Les emprunts indivis 38 6. Les emprunts obligataires 46 7. EXERCICES 46 1 Suites 1. Déﬁnitions Déﬁnition 1.1 On appelle suite de nombres réels toute application u d’une partie I de N dans R. On désigne souvent par (un)n∈I ou (un) la suite u. L’image de n par u ne se note pas u(n) mais un. Le terme un s’appelle terme général de la suite. Exemple : L’application déﬁnie sur N par u(n) = cos 2n est une suite de nombres réels dont le terme général est un = cos 2n. Dans la suite, nous supposerons que I soit l’ ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à un entier naturel n0. Déﬁnition 1.2 Soit (un) une suite de nombres réels. — On dit que (un) est stationnaire si un+1 = un ∀n ∈I — On dit que (un) est croissante si un+1 ⩾un ∀n ∈I — On dit que (un) est décroissante si un+1 ⩽un ∀n ∈I Exemple : 1. La suite, de terme général un = 1/n, est décroissante. 2. La suite, de terme général un = n2, est croissante. 3. La suite, de terme général un = cos 2nπ, est stationnaire. Déﬁnition 1.3 Soit (un) une suite de nombres réels. — On dit que (un) est majorée si ∃M ∈R, ∀n ∈I : un ⩽M. — On dit que (un) est minorée si ∃m ∈R, ∀n ∈I : un ⩾m. — On dit que (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Exemple : 1. La suite, de terme général un = sin 3n, est majorée par 1 et minorée par −1. Donc elle bornée. 2. La suite, de terme général un = n2, est minorée (par 0) mais elle n’est pas majorée. 2. Suites convergentes Déﬁnition 1.4 Soit (un) une suite réelle et ℓun réel. On dit que (un) converge vers ℓsi et seulement si : ∀ε > 0, ∃N ∈N : n > N = ⇒|un −ℓ| < ε. 1 Suites 4 On dit que ℓest la limite de (un). On note lim n→+∞un = ℓou lim un = ℓ. Exemple : 1. Considérons la suite de terme général un = 1/n, montrons que lim un = 0. Pour cela soit ε > 0, montrons qu’il existe un certain entier N tel que pour tout n ⩾N on ait |un| < ε. |un| < ε ⇐ ⇒ 1 n < ε ⇐ ⇒ 1 ε < n Il sufﬁt donc de prendre N supérieur à 1/ε. Prenons par exemple N = E( 1 ε) + 1. Ainsi pour n ⩾N, on a n > 1/ε, par suite 1/n < ε d’où |un| < ε. 2. Considérons la suite de terme général un = 1 + (−1)n n · Démontrons que cette suite converge vers 1. Soit ε > 0, on a : ∀n ∈N∗, 1 + (−1)n n −1 = (−1)n n = 1 n et par suite : ∀n ∈N∗, (|un −1| < ε) ⇐ ⇒ 1 n < ε ⇐ ⇒ n > 1 ε · il sufﬁt donc de choisir pour N l’entier naturel E 1 ε + 1 · Déﬁnition 1.5 Soit (un) une suite réelle. On dit que (un) tend vers +∞quand n tend vers +∞si et seulement si : ∀A > 0, ∃N ∈N : n > N = ⇒un > A. On note lim n→+∞un = +∞ou lim un = +∞. Déﬁnition 1.6 Soit (un) une suite réelle. On dit que (un) tend vers −∞quand n tend vers +∞si et seulement si : ∀A > 0, ∃N ∈N : n > N = ⇒un < −A. On note lim n→+∞un = −∞ou lim un = −∞. Exemple : Considérons la suite de nombres réels un déﬁnie par un = 2n. Démontrons que lim un = +∞. On a : ∀n ∈N, 2n > A ⇐ ⇒n > A 2 . Il sufﬁt donc de prendre pour N l’entier E A 2 + 1. Théorème 1.1 Si une suite admet une limite, alors cette limite est unique. Déﬁnition 1.7 Soit (un) une suite réelle. — On dit que la suite (un) est convergente si et seulement s’il existe un réel ℓvers lequel elle converge. — On dit que la suite (un) est divergente si et seulement si elle n’est pas convergente. 1 Suites 5 Remarque : Une suite divergente est donc : — soit une suite qui tend vers +∞ou vers −∞; — soit une suite qui n’a pas de limite quand n tend vers +∞, c-à-d : ∀ℓ∈R, ∃ε > 0, ∀N ∈N, ∃n ∈N : n > N = ⇒|un −ℓ| ⩾ε. Exemple : 1. La suite (un) déﬁnie par un = 2n est divergente car lim un = +∞. 2. La suite (un) déﬁnie par un = (−1)n est divergente. En effet : soit ℓun réel quelconque. Posons ε = 8 < : 1 2|ℓ−1| si ℓ̸= 1, 1 si ℓ= 1 Considérons un entier naturel quelconque N et prenons n = ( 2N si ℓ̸= 1, 2N + 1 si ℓ= 1 On a alors — pour ℓ̸= 1 : n > N et |un −ℓ| = |u2N −ℓ| = |(−1)2N −ℓ| = |1 −ℓ| = 2ε > ε; — pour ℓ= 1 : n > N et |un −ℓ| = |u2N+1 −ℓ| = |(−1)2N+1 −ℓ| = | −2| = 2 > ε. Proposition 1.1 Soit (un) une suite réelle. Si (un) est convergente alors elle est bornée Une suite bornée n’est pas toujours convergente. Exemple : un = (−1)n. Suites monotones : le théorème suivant donne un critère assez commode de convergence. Théorème 1.2 — Toute suite croissante majorée est convergente. — Toute suite décroissante minorée est convergente. Exemple : Soit (un) la suite déﬁnie sur N par : un = 6n + 7 2n + 5· On a : un = 6n + 15 −8 2n + 5 = 3 − 8 2n + 5 et par suite : ∀n ∈N, un+1 −un = 3 − 8 2(n + 1) + 5 − 3 − 8 2n + 7 = 8 2n + 5 − 8 2n + 7 = 16 (2n + 5)(2n + 7) > 0. La suite (un) est croissante. D’autre part : ∀n ∈N, un ⩽3. La suite (un) est majorée, elle est donc convergente. 1 Suites 6 Suites extraites : Déﬁnition 1.8 Soient ϕ : I →I une application strictement croissante et (un) une suite réelle. On appelle suite extraite de (un), la suite (vn) déﬁnie par : vn = uϕ(n) pour tout n ∈I. L’application v n’est autre que u ◦ϕ. Exemple : 1. Les suites (u2n) et (u2n+1) sont deux suites extraites de (un). 2. Les suites (vn) et (wn) respectivement déﬁnies par vn = 1 et wn = −1 sont deux suites extraites de la suite (un) de terme général un = (−1)n. En effet, vn = u2n et wn = u2n+1. Théorème 1.3 Soit (un) une suite et ℓun réel. Si la suite (un) converge vers ℓ, alors toute suite extraite de (un) converge également vers ℓ. En particulier : toute suite dont on peut extraire deux suites qui convergent vers des limites différentes, est divergente. Exemple : La suite (un) déﬁnie par un = (−1)n est divergente car ses deux suites extraites (u2n) et (u2n+1) convergent respectivement vers 1 et −1. D’après le Théorème 1.3 : si la suite (un) converge vers ℓ, alors les suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers ℓ; mais dans ce cas on a aussi une réciproque : Théorème 1.4 Soit (un) une suite et ℓun réel. Si les suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers ℓ, alors (un) converge également vers ℓ. Suites adjacentes : Déﬁnition 1.9 Deux suites (un) et (vn) sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre est décroissante et lim(un −vn) = 0. Proposition 1.2 Soient (un) et (vn) deux suites adjacentes alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite. Exemple : Soit les suites de termes généraux : un = 1 + 1 1! + 1 2! + · · · + 1 n!, vn = un + 1 n · n!· Pour tout n on a : un+1 −un = 1 (n + 1)! ⩾0 vn+1 −vn = 1 (n + 1)! + 1 (n uploads/Litterature/ cours-mathematiques-financieres-premiere-annee-s2.pdf