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IAN STEWART ARPENTER L ’INFINI Une histoire des mathématiques Préface 6 1 Jeton

IAN STEWART ARPENTER L ’INFINI Une histoire des mathématiques Préface 6 1 Jetons, marques et tablettes 8 2 Logique des formes 20 3 Notations et nombres 40 4 L’attrait de l’inconnu 54 5 Triangles éternels 69 6 Courbes et coordonnées 82 7 Nombres et modèles 92 8 Le système de l’univers 107 9 Modèles de la nature 124 10 Ces nombres qui n’existent pas 138 11 De solides fondations 149 SOMMAIRE 12 Triangles impossibles 161 13 L’essor de la symétrie 175 14 L’algèbre à maturité 189 15 Géométrie de la feuille de caoutchouc 203 16 La quatrième dimension 219 17 Formes de la logique 234 18 Quel degré de probabilité ? 252 19 Calculs à grande vitesse 262 20 Chaos et complexité 272 Bibliographie 286 Index 289 Les inventions humaines sont souvent éphémères : si les roues de chariot furent très importantes dans le Nouvel Empire égyptien, elles ne constituent pas aujourd’hui ce que l’on pourrait appeler une technologie de pointe. Les mathéma- tiques, en revanche, offrent souvent un aspect pérenne. Une fois une découverte mathématique établie, elle devient acces- sible à tous et, de ce fait, mène sa propre existence. Les bonnes idées mathématiques passent rarement de mode, même si leur mise en œuvre peut changer de façon spectaculaire. Les mé- thodes de résolution des équations, découvertes par les Baby- loniens, continuent d’être utilisées. Nous n’employons pas leur notation, mais le lien historique est indéniable. De fait, la plus grande part des mathématiques enseignées dans les écoles a au moins deux siècles. Cependant, contrairement aux apparences, les mathématiques ne sont pas demeurées immobiles pen- dant tout ce temps. Aujourd’hui, on crée plus de nouvelles mathématiques chaque semaine que ne l’ont fait les Babyloniens eux-mêmes en deux mille ans. Les essors de la civilisation humaine et des mathématiques sont allés de pair. Sans les découvertes tri- gonométriques des Grecs, des Arabes et des Indiens, la navigation aurait été une entreprise encore plus périlleuse qu’elle ne le fut lorsque les grands découvreurs s’aventurèrent sur les routes maritimes des six continents. Les voies commerciales de la Chine vers l’Europe ou de l’Indonésie vers les Amériques étaient en quelque sorte reliées par un fil mathématique invisible. La société actuelle ne pourrait pas fonctionner sans les mathématiques. Pratiquement tout ce que nous considérons comme acquis – de la télévision au téléphone portable, de l’avion de tourisme au système de guidage par satellite des voitures, des horaires de train aux scanners médicaux – repose sur des idées et des méthodes mathématiques. Parfois, les mathématiques datent de milliers d’années, d’autres fois, elles remontent à la semaine passée. Nous ne sommes généralement pas conscients de leur présence, de leur travail en coulisse grâce auquel les miracles de la technologie moderne prennent forme. Sans doute est-ce malheureux de croire que la technologie fonctionne comme par magie, et d’at- tendre chaque jour de nouveaux miracles. D’un autre côté, une telle approche est parfaitement natu- relle : nous souhaitons bénéficier de ces miracles aussi aisément et avec aussi peu de réflexion que possible. L’utilisateur ne doit pas être surchargé d’informations inutiles sur les mécanismes sous-ja- cents qui les rendent possibles. Si chaque passager d’une compagnie aérienne devait passer un examen de trigonométrie avant d’embarquer, nous serions peu nombreux au décollage ! Cela réduirait notre em- preinte carbone, soit, mais notre monde deviendrait extrêmement confiné. Écrire une histoire entièrement exhaustive des mathématiques est pratiquement impossible. Le sujet est si large, si complexe et si technique que même un spécialiste trouverait un tel livre illisible – à sup- poser qu’il soit même possible d’en écrire un. Morris Kline s’est approché d’une telle exhaustivité avec son monumental Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (La Pensée mathématique de l’Antiquité aux temps modernes), qui comporte plus de 1 200 pages imprimées en petits caractères et ignore la quasi-totalité des recherches mathématiques de ces cent dernières années. Les mathématiques ne sont pas apparues d’un seul coup. Elles se sont développées à partir des efforts additionnés de nombreux individus, de cultures et de langues différentes. Certaines idées mathématiques toujours d’actualité remontent à plus de 4 000 ans. Pr é f a c e 7 Le présent ouvrage est beaucoup plus court, ce qui signifie que j’ai dû me montrer sélectif, notam- ment lorsqu’il s’est agi d’évoquer les mathématiques des XXe et XXIe siècles. Je suis parfaitement conscient de ne pas avoir abordé tous les grands thèmes. Vous ne trouverez nulle trace de géométrie algébrique, de théorie cohomologique, d’analyse des éléments finis ou de théorie des vaguelettes. La liste des sujets manquants est bien plus longue que celle de ceux traités. Mes choix ont été dictés par les connaissances que mes lecteurs sont censés avoir et par la possibilité d’expliquer succinctement les nouvelles idées. L’ensemble des chapitres est organisé par thème et chaque thème obéit à une présentation à peu près chronologique. Cette structure thématique est nécessaire pour offrir une certaine cohérence nar- rative ; si je m’étais contenté de suivre l’ordre chronologique, la discussion serait passée aléatoirement d’un sujet à un autre, sans respecter la moindre direction. Sans doute aurais-je été plus fidèle à l’his- toire proprement dite, mais le livre en serait devenu illisible. Ainsi chaque chapitre commence par un saut dans le passé, et se poursuit en effleurant certaines des grandes étapes ayant marqué le développe- ment du sujet évoqué. Les premiers chapitres s’attardent dans l’histoire ancienne des mathématiques, les derniers évoquent les recherches les plus actuelles. Je me suis efforcé d’offrir un avant-goût des mathématiques modernes (développées au cours des cent dernières années) en sélectionnant des thèmes qui ont pu parvenir aux oreilles des lecteurs et en les reliant aux principales tendances historiques. L’omission d’un sujet ne signifie pas qu’il est dénué d’intérêt ; je pense toutefois qu’il est plus justifié de consacrer quelques pages à la démonstration du grand théorème de Fermat par Andrew Wiles – dont nombre de lecteurs auront entendu parler – plu- tôt que d’évoquer la géométrie non commutative, dont l’arrière-plan à lui seul occuperait plusieurs cha- pitres. En résumé, il s’agit d’une histoire des mathématiques, et non de l’Histoire des mathématiques. Ce livre est bien une histoire, dans la mesure où il nous parle aussi du passé. Il ne vise pas les historiens professionnels, ne procède pas aux subtiles distinctions que ceux-ci estiment nécessaires et décrit sou- vent les idées du passé à travers le présent. Une telle approche constitue un grave péché pour un histo- rien, car elle donne l’illusion que les Anciens s’efforçaient d’une façon ou d’une autre d’adopter notre propre façon de penser. Toutefois, je pense que ce point de vue est à la fois défendable et utile dans la mesure où l’objectif principal consiste à partir de ce que nous savons aujourd’hui et à nous interroger sur l’origine de ces idées. Les Grecs n’étudièrent pas l’ellipse afin de permettre la théorie de Kepler sur les orbites des planètes ; Kepler lui-même ne formula pas ses trois lois sur le mouvement des planètes afin que Newton les convertisse dans sa loi de la gravitation universelle. Cependant, les recherches de Newton reposent fortement sur les travaux des Grecs relatifs à l’ellipse et sur l’analyse de Kepler des don- nées recueillies par l’observation. Un thème secondaire du présent ouvrage est l’utilisation concrète des mathématiques. J’ai cherché à proposer des exemples d’applications, passées et présentes, aussi divers que possible. Une fois en- core, l’absence d’un sujet ne signifie nullement qu’il n’est pas digne d’attention. Les mathématiques ont une histoire longue et glorieuse, bien que quelque peu négligée, et leur in- fluence sur le développement de la culture humaine est immense. Si ce livre parvient à transmettre ne serait-ce qu’une infime part de cette histoire, il aura réussi à atteindre l’objectif que je m’étais fixé. COVENTRY, MAI 2007 2 Logique des formes La naissance de la géométrie Les débuts de la géométrie En dehors des symboles, les mathématiciens utilisent les figures, qui sollicitent divers types de raisonnement visuel. Les figures étant moins formelles que les symboles, leur utilisation fut parfois critiquée. Le sentiment selon lequel une image serait, logiquement parlant, moins rigoureuse qu’un calcul sur les symboles, est fort répandu. Reconnaissons que les figures lais- sent plus de place aux divergences d’interprétation que les symboles. De plus, une figure peut contenir des hypothèses cachées : il est impossible de dessiner un triangle « quelconque ». Le triangle que nous traçons possède une taille et une forme particulières, qui ne peuvent pas être représentative d’un triangle arbitraire. Néanmoins, l’intuition visuelle constitue une carac- téristique si puissante du cerveau humain que les figures jouent un rôle éminent en mathé- matiques. De fait, après le concept de nombre, elles introduisent un deuxième concept essentiel : le concept de forme. La fascination des mathématiciens pour les formes remonte à fort longtemps. Les tablettes babyloniennes contenaient des figures : pour la tablette YBC 7289, par exemple, un carré et Il existe deux principaux types de raisonnements en mathématiques : le raisonnement symbolique et le raisonnement visuel. Le raisonnement symbolique puise son origine dans la uploads/Litterature/ harpenter-l-x27-infinie-pdf.pdf