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MIMP - PC11 —— Math22 - Algèbre linéaire —— Devoir surveillé du 12 mai 2014 ——

MIMP - PC11 —— Math22 - Algèbre linéaire —— Devoir surveillé du 12 mai 2014 —— Durée : 2 heures Les documents et appareils électroniques (calculatrices, téléphones portables, etc...) sont interdits. Toutes les réponses doivent être justiﬁées et vous soignerez votre rédaction. Le barème proposé est indicatif. Exercice 1. (5 points) 1. Question de cours. Soit F = {v1,v2,...,vp} une famille de vecteur d’un K-espace vectoriel E. Donner les déﬁ- nitions suivantes : — F est une famille libre. — F est une famille génératrice de E. — F est une base de E. 2. Question de cours. Énoncer le théorème de la base incomplète. 3. Soient F = {v1,v2,v3,v4} une famille de vecteurs de R3. En supposant que v1 et v2 ne sont pas des vecteurs colinéaires, quelles sont les valeurs possibles pour le rang rg(v1,v2,v3,v4) ? 4. Calculer (u∧v)·w pour u =   1 2 −5   v =   1 3 −6   w =   3 2 3   Rappels : v1 ∧v2 désigne le produit vectoriel, v1 ·v2 le produit scalaire. Exercice 2. (3 points) On considère, dans R4, les vecteurs : v1 = (1,2,3,4), v2 = (1,1,1,3), v3 = (2,1,1,1), v4 = (−1,0,−1,2), v5 = (2,3,0,1). Soit F l’espace vectoriel engendré par {v1,v2,v3} et soit G celui engendré par {v4,v5}. Calculer les dimensions respectives de F, G, F ∩G, F +G. Problème. (10 points) De nombreuses questions sont indépendantes les unes des autres. Soit f : R3 →R3 l’application linéaire déﬁnie par f(x,y,z) = 1 2 x−y+z, 2x+4y−2z, 3x+3y−z . 1. (a) Déterminer une base du noyau de f. (b) Donner la dimension du noyau de f. (c) f est-elle injective ? 2. (a) Calculer la dimension de l’image de f. (b) Déterminer une base de l’image de f. (c) f est-elle surjective ? 3. Le noyau et l’image sont-ils en somme directe dans R3 ? 4. Soit B0 la base canonique de R3. On note A la matrice de f exprimée dans la base canonique : A = MatB0( f). Calculer A. 5. Soit B = (v1,v2,v3) la base de R3, où v1 =   −1 2 3   v2 =   1 0 1   v3 =   0 1 1   (a) Calculer la matrice de passage P de la base B0 à la base B. (b) Calculer P−1. (c) En déduire la matrice B de f exprimée dans la base B : B = MatB( f). 6. Calculer f(v1), f(v2) et f(v3). Retrouver ainsi la matrice B. 7. (a) Décrire géométriquement l’application linéaire f. (b) Que vaut l’application itérée f p = f ◦f ◦···◦f | {z } p occurrences pour p ≥1 ? Exercice de recherche. (2 points) Soit A ∈Mn(K) une matrice carrée. Le but est de démontrer le théorème suivant : Théorème. Si A est inversible à droite (c’est-à-dire s’il existe B ∈Mn(K) tel que A × B = I) alors A est inversible (c’est-à-dire, il existe B ∈Mn(K) tel que A×B = I et B×A = I). Indication. Vous pourrez utiliser l’application : φ : Mn(K) − → Mn(K) X 7− → X ×A Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. uploads/Litterature/ ds2-math22-2014.pdf