Cours de Probabilité UE MA 206 Siméon FOTSO Département de Mathématiques Ecole

Cours de Probabilité UE MA 206 Siméon FOTSO Département de Mathématiques Ecole Normale Supérieure Université de Yaoundé 1 e-mail : simeonfotso@yahoo.fr Yaoundé, le 26 mars 2018 Table des matières 1 ANALYSE COMBINATOIRE 3 1.1 Arrangements avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Arrangements (sans répétition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Permutations (sans répétition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Permutations avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Combinaisons (sans répétition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Espaces probabilisables 8 2.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Espaces probabilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Univers des possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Famille fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.3 Anneau, -anneau, algèbre et -algèbre de parties d’un ensemble . . 9 2.2.4 Espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.5 Espace probabilisable associé à une expérience aléatoire . . . . . . . 11 2.2.6 Composition des évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Espaces probabilisés 13 3.1 Trois façons de dé…nir une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Equiprobabilité sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.2 Approche fréquentiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.3 Approche subjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Probabilité, espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.1 Dé…nition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.2 Propriétés immédiates d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.3 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Indépendance 18 4.1 Généralités sur l’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1.1 Indépendance de deux évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1.2 Indépendance de deux familles d’évènements . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Théorème de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Variables aléatoires réelles 22 5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1.2 Loi de probabilité d’une v.a.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1.3 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ENS, Département de Maths UE MA 206, Probabilité 5.2 V.A.R discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2.1 Loi de probabilité de X: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2.2 Fonction de répartition de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2.3 Opérations sur les v.a.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.2.4 Espérance mathématique de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2.5 Variance et écart-type de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2.6 Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.3 V.A.R continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.3.1 Loi de probabilité de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3.2 Fonction de répartition de X: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.3.3 Espérance mathématique, variance et écart-type de X: . . . . . . . 27 5.3.4 Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.4 Indépendance de deux v.a.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6 Lois de probabilité 29 6.1 Lois de probabilité discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.1.1 Loi de Bernoulli de paramètre p : B(1; p); 0  p  1: . . . . . . . . 29 6.1.2 Loi binomiale de paramètres n et p : B(n; p); 0  p  1: . . . . . . 29 6.1.3 La loi de Poisson de paramètre  : P();  2 R +: . . . . . . . . . . 30 6.1.4 La loi multinomiale de paramètres n; p1; p2; :::; pk : M(n; p1; p2; :::; pk): 30 6.1.5 Loi géométrique de paramètre p : G(p); 0 uploads/Litterature/ ens-maths2-coursma206-probabilite2.pdf

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