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CAHIERS DU SÉMINAIRE D’HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES J. VIGNES Zéro mathématique e

CAHIERS DU SÉMINAIRE D’HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES J. VIGNES Zéro mathématique et zéro informatique Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 1re série, tome 8 (1987), p. 25-42 <http://www.numdam.org/item?id=CSHM_1987__8__25_0> © Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, 1987, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques » im- plique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pé- nale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ - 25 - ZERO MATHEMATIQUE ET ZERO INFORMATIQUE J. VIGNES * Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie et C.N.R.S. Conseiller Scientifique à l’Institut Français du Pétrole. 1 - INTRODUCTION Une controverse existe à propos de la première apparition du zéro, dans la numération de position. Certains pensent que ce sont les babyloniens [3,4],d’autres les indiens [7] qui furent les premiers à introduire un caractère signifiant l’absence d’unité d’un certain rang dans la numération de position. Mais ce zéro n’était pas alors pensé dans le sens de rien ou de valeur nulle. Il fallut attendre plusieurs siècles pour que ce nouveau concept apparaisse. Il est très difficile de dire qui l’a introduit pour la première fois. Certains pensent qu’on le doit à Diophante d’Alexandrie qui vécu croit-on au 4ème siècle. Mais ces travaux restèrent quasiment inconnus. Un demi-millénaire plus tard vers 825 Muhammad Ibn Musa AL- Khawarismi écrivit un traité d’algèbre dont la traduction en latin, faite par Abelard de Bath vers 1120 parue sous le titre "Liber Algorismi de numéro Indorum", permit de faire connaître en Occident le concept du zéro, valeur nulle, et les techniques algébriques qui en découlent. Le zéro joue un rôle capital en mathématiques, montrons ici comment il est utilisé pour contrôler la solution de problèmes d’analyse numérique. * Conférence donnée le 11 décembre 1985 au Séminaire d’Histoire des mathématiques. II - ROLE DU ZERO EN TANT QU’OUTIL DE CONTROLE DE LA SOLUTION DE PROBLEMES D’ANALYSE NUMERIQUE Un grand nombre de problèmes d’analyse numérique peuvent être classés comme ’’’problème à solution contrôlable". Cela veut dire que la solution étant obtenue, par une méthode quelconque, on peut contrôler sa validité en calculant la valeur d’une fonction. Deux cas peuvent être rencontrés : - la valeur de cette fonction est égale à zéro, alors on peut affirmer que l’on a obtenu la solution du problème cherchée - la valeur de cette fonction est différente de zéro, alors on peut affirmer que l’on n’a pas résolu le problème. Donnons ici quelques exemples : a) La détection de la singularité d’une matrice carrée ~ d’ordre n. Considérons une matrice réelle A d’ordre n. Calculons par un algorithme quelconque la valeur A de son déterminant - si A = 0 alors c’est singulière et non inversible _ - 0 alors ~u est régulière et inversible. b) Le calcul de la matrice;] inverse de àk.. Soient J? la matrice réelle d’ordre n obtenue par un algorithme quelconque de calcul de matrice inverse et I la matrice unité d’ordre n. Calculons la matrice ce telle I - si = 0 alors ~ est bien l’inverse de ot - si fiJ. ;z: 0 alors n’est pas l’inverse de fi; . c) Le calcul des valeurs propres d’une matrice cet des vecteurs propres associés , Soient 03BBi~R ou C, 1=1, ...,n,les valeurs propres de A et vie mn ou C~ les vecteurs propres associés obtenus par un algorithme quelconque. Calculons, pour i=l,...,n,les valeurs Di des déterminants des matrices Ai telles que ~~u i = 11; - ÀiI, ainsi que les vecteurs Ri définis par : Ri =:fI;. vi - Xivi - si Di = 0 alors Xi est bien valeur propre de ~, - si 0 alors Xi n’est pas valeur propre des - si Ri = 0 alors vi est bien vecteur propre associé à ai - si Ri 0 alors vi n’est pas vecteur propre associé à ~i, d) La résolution des systèmes d’équations ~ ° Soit un système d’équations non linéaires d’ordre n défini par " ~ ( x ) - 0, étant une application de !Rn dans _ Soit le vecteur obtenu par un algorithme quelconque de résolution des systèmes non linéaires. Calculons la valeur du vecteur v~Rn défini par : ’v = ~’ ( x* ) . - si v = 0 alors x* est une solution du système non linéaire - si v x 0 alors x* n’est pas une solution du système non linéaire. e) La résolution des problèmes d’optimisation non contraints Soit à résoudre le problème : Min 03A6(x) XE Rn, 03A6 étant une application Max de Rn ==> R, 03A6 est supposée unimodale et ne présentant pas de point selle. Soit le vecteur obtenu par un algorithme quelconque d’optimisation. Calculons la valeur du vecteur uERn défini par : U = grad 03A6 (x*) , - si u = 0 alors x* est bien l’extremum de ~ - si u x 0 alors x* n’est pas l’extremum de ~. Comme nous le voyons dans cette liste d’exemples, qui bien évidemment n’est pas exhaustive, l’égalité à zéro d’une ou plusieurs fonctions,calculées avec les résultats fournis par des algorithmes de résolutions, permet de dire si l’on a ou non obtenu la solution du problème cherché. Mais encore faut-il être capable de calculer correctement la valeur de ces fonctions. Du point de vue de l’analyse numérique, les algorithmes de résolution étant généralement conçus dans le domaine du continu, pour être exécutés avec une arithmétique exacte, le problème ne se pose pas. Du point de vue de l’informatique il en est tout autrement puisque)lorsque ces algorithmes sont mis en oeuvre sur ordinateurs, ils sont projetés dans le domaine du discret et exécutés avec une arithmétique qui n’est qu’une approximation de l’arithmétique exacte. Ainsi tout résultat de calcul est-il entaché d’une erreur. Le problème de la validité des résultats des fonctions calculées est ici crucial, c’est d’ailleurs ce qui différencie essentiellement l’in- formatique numérique de l’analyse numérique. III - L’ARITHMETIQUE INFORMATIQUE ET SES CONSEQUENCES III - I. La représentation des éléments de m Tout élément XE R, s’écrit en virgule flottante normalisée sous la forme : , x = m.be , 1 m étant la mantisse illimitée telle que b ~ m 1 e étant l’exposant entier eEL, La représentation machine de est Xe F définie par : X = M.bE M étant la mantisse limitée à p chiffres dans la base b E = e étant l’exposant entier. IF est donc l’ensemble des nombres informatiques codés en virgules flottantes normalisé. Du fait que M est limitée, X n’est qu’une approximation de x. On peut définir les erreurs relatives ~i de ces représen- tations dues aux mantisses limitées par : r étant la partie perdue par la mantisse. Il a été montré [1, 5, 8] que les ()(i i=l,2 pouvaient être considérées comme des variables aléatoires appartenant à des populations statistiques P( oc ) dont on a calculé la moyenne et l’écart type. III. 2 L’arithmétique virgule flottante normalisée Lorsque l’on veut sur ordinateur effectuer une opération algébrique z = x w y x, y, z w E [+, -, x, : ] (les éléments w étant les opérateurs arithmétiques exacts) c’est en fait : Z = x n Y X,Y,Z E IF n~[@,o,*,~] (les éléments n étant les opérateurs informatiques) qui est exécutée. L’erreur absolue sZ appelée erreur d’arrondi est définie par : EZ = Z-z = (x + Ex) w (y + sy) - x w y + 0 Y) Ex, sy étant les erreurs absolues sur X et Y et 03B1 E Chaque opération informatique n’étant qu’une approximation de l’opération algébrique, au fur et à mesure du déroulement d’un calcul sur ordinateur la propagation des erreurs d’arrondi fait que tout résultat est entaché d’une erreur qui parfois peut rendre le résultat fourni complètement faux, comme nous allons le voir. III.3. Conséquence de la propagation des erreurs d’arrondi Considérons la matrice singulière,,%~ d’ordre 2 suivante : Calculons par la méthode de Gau~ sur un ordinateur travaillant en arithmétique tronquée décimale avec 6 chiffres de mantisse, la valeur A de son déterminant. La matrice informatique A correspondant à ~ est la suivante : .- Nous remarquons que les coefficients tombant ici juste en machine on a ’ A =~ . . La valeur du déterminant est donnée par : - L’algorithme de Gauss nous donne : La matrice informatique A pourtant identique à A paraît comme régulière ce qui est tout à fait faux. Que s’est-il passé ? La valeur du deuxième pivot résulte de l’effet cumulé des erreurs d’arrondi et est donc non significative. Malgré sa valeur intrinsèque cette valeur doit être considérée comme nulle. Ceci montre bien le nécessité d’élaborer un nouveau concept, celui du zéro informatique. IV. LE CONCEPT DU ZERO INFORMATIQUE Il est bien évidemment lié à la propagation des erreurs d’arrondi due à l’arithmétique de l’ordinateur. Nous définissons le zéro informatique de la façon suivante? uploads/Litterature/ cshm-1987-8-25-0.pdf