Université Sidi Mohamed Ben Abdellah École Normale Supérieure - Fès  

    Université Sidi Mohamed Ben Abdellah École Normale Supérieure - Fès     Département de mathématiques LPEM- Algèbre 4-S3 2019-2020 Il sera tenu compte, dans l’appréciation des copies, de la précision des raisonnements ainsi que la clarté de la rédaction. Examen (Algèbre 4) A u LPEM Rappeler :    1. La définition d’une forme linéaire,    2. La définition d’hyperplan d’un es- pace vectoriel,    3. La définition d’une matrice trigona- lisable,    4. La définition du bloc de Jordan Jλ,n,    5. Le théorème de Cayley-Hamilton,    6. Le lemme des noyaux. Questions de cours (3pts)  Exercice 1 (3pts) Soit a ∈R∗et A la matrice : A =           0 a a2 1 a 0 a 1 a2 1 a 0              1. Calculer A2 −A.    2. Montrer que A est diagonalisable.    3. Sans calculer χA déterminer Sp(A). Exercice 2 (4pts) Soit A la matrice A =   0 1 −1 1 0 1 −1 1 0  .    1. Vérifier que χA = −(X −1)2(X +2). En dé- duire le spectre de A.    2. calculer (A −I3)(A + 2I3), puis justifier que A est diagonalisable.    3. Déterminer les sous espaces propres de A.    4. Déterminer une matrice inversible P ∈ M3(R) et une matrice diagonale D tel que A = PDP−1.    5. Montrer qu’il existe une matrice B ∈ M3(R) telle que B3 = A. PROBLÈME (10pts) Dans tout le problème E est un espace vectoriel de dimension n ≥1 et u un endomorphisme de E. Le but du problème est de démontrer, pour un endomorphisme u dont le polynôme caractéristique est scindé, le résultat suivant : L’endomrphisme u2 est diagonalisable si, et seulement si, u est diagona- lisable et keru = keru2. Première partie : Cas où u est diagonalisable On suppose dans cette partie que u est diagonalisable. M. AQALMOUN 1 / 2 www.aqalmoun.com     Université Sidi Mohamed Ben Abdellah École Normale Supérieure - Fès     Département de mathématiques LPEM- Algèbre 4-S3 2019-2020    1. Montrer que u2 est diagonalisable.    2. Montrer que keru ⊆keru2.    3. Montrer que keru2 est stable par u.    4. Soit v = u|keru2.    4.1 Justifier que v est diagonalisable.    4.2 Montrer que v2 = 0, en déduire que v = 0.    5. En déduire que keru = keru2. Deuxième partie : Cas où u2 est diagonalisable Dans cette partie, on considère un endomorphisme u dont le polynôme caractéristique χu est scindé, χu = (−1)n r Y k=1 (X −λk)mk où λ1,...,λr sont les valeurs propres deux à deux distinctes de u.    6. Justifier, pour tout 1 ≤k ≤r, que λ2 k est une valeur propre de u2.    7. Vérifier que χu(X )χu(−X ) = (−1)n r Y k=1 (X 2 −λ2 k)mk.    8. Montrer que r Y k=1 (X −λ2 k)mk est un polynôme annulateur de u2.    9. En déduire que Sp(u2) = {λ2 k / 1 ≤k ≤r}.    10. Soit v un endomorphisme de E. On suppose que E = m M i=1 Fi où pour chaque 1 ≤i ≤m, Fi est un sous espace stable par v. Montrer que v est diagonalisable si, et seulement si, pour tout 1 ≤i ≤m, v|Fi est diagonalisable. On suppose dans la suite de cette partie que u2 est diagonalisable et que keru2 = keru .    11. Que peut-on dire de M β∈Sp(u2) ker(u2 −βIdE) ?    12. Soit β ∈Sp(u2).    12.1 Justifier qu’il existe α ∈Sp(u) tel que β = α2.    12.2 On pose w = u|ker(u2−βIdE). Justifier que X 2 −β est un polynôme annulateur de w.    12.3 Montrer que w est diagonalisable. Indication : on pourra distinguer les deux cas β = 0 et β ̸= 0.    13. En déduire que u est diagonalisable. ©J Ò j.ÊË YJ ªƒ ¡k Bonne chance END M. AQALMOUN 2 / 2 www.aqalmoun.com uploads/Litterature/ exam-1920.pdf

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littérature montrer diagonalisable. matrice diagonalisable définition
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