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Filtrage adaptatif : théorie et applications Volume 1 théorie et algorithmes so

Filtrage adaptatif : théorie et applications Volume 1 théorie et algorithmes sous la direction de François MICHAUT Maurice BELLANGER version 6 26 Juin 2005 LISTE DES AUTEURS BELLANGER Maurice CNAM PARIS adresse : 292 rue Saint Martin 75141 Paris Cedex 03 mel : <bellang@cnam.fr> BROSSIER Jean-Marc LIS/ENSIEG Grenoble BP46. 38402 Saint Martin d’Hères cedex. mel : <jean-marc.brossier@lis.inpg.fr> DELMAS Jean Pierre CITI Department Institut National des Télécommunications Evry 9 rue Charles Fourier 91011 EVRY email jean-pierre.delmas@int-evry.fr GILLOIRE Andre France Telecom Lannion adresse : , Technopôle Anticipa, 2 Av Pierre Marzin 22307 Lannion Cedex mel : <andre.gilloire@rd.francetelecom.com> MICHAUT François ENSEA Cergy (Département Signal et Télécoms) 6 avenue du Ponceau 95000 Cergy mel : michaut@ensea.fr REGALIA Phillip A. Institut National des Telecommunications Evry 9, rue Charles Fourier F-91011 Evry cedex France Phillip.Regalia@int-evry.fr or p.regalia@ieee.org SCALART Pascal ENSSAT, Lannion 6 rue de Kerampont BP 80518, 22305 Lannion Cedex Mel : pascal.scalart@enssat.fr 3 4 Filtrage adaptatif Notations et abréviations R C Z N Ensembles numériques H = L2(Ω) Espace de Hilbert des v.a. de carré intégrable H = Rd Espace euclidien standard A, x Matrices et vecteurs ﬁxes en gras droit (possibilité) < x, y > Produit scalaire sur H espace de Hilbert ω Epreuve aléatoire ou réalisation p.a. Processus aléatoire p.s. Propriété "presque sûre" (avec proba 1) m.q. En moyenne quadratique (convergence) E(X) = mX Espérance du vecteur aléatoire X Xc = X −mX Variable ou vecteur aléatoire centré E(X|Y ) Espérance conditionnelle à la tribu σ(Y ) EL(X|Y ) Estimation linéaire en m.q. sur V ect(Y ) cov(X, Y ) Covariance de 2 variables aléatoires Γ(X, Y ) = E(XcY T c ) = cov(X, Y ) Matrice intercovariance de vect. aléatoires var(X) = σ2 X Variance de X i.i.d., bruit blanc fort Indépendant identiquement distribué (p.a.) xn ou x(n) ou x(n, ω) n ∈Z Signal numérique aléatoire Γx(n, m) = cov(xn, xm) Fonction de covariance d’un p.a. γx(p) = cov(xn, xn−p) Fonction de corrélation de xn γxy(p) = cov(xn, yn−p) Fonction d’intercorrélation de x et y ◦ γx(ν) = +∞ P −∞ e−2iπνpγX(p) Densité spectrale (DSP) γx(z) = +∞ P p=−∞ γX(p)z−p Densité en z de x ν ∈[1] Intervalle des fréquences de longueur 1 ◦ x(ν) TF de la suite numérique x x(z) TZ de la suite x Df(a) Différentielle de f : Rn →Rp J(θ) Fonction de coût de l’algorithme EQM Erreur quadratique moyenne Jmin = J(θ∗) EQM minimale du θ∗optimal θ ou w ∈Rd Vecteur des paramètres à estimer µn µ λn λ = 1 −µ Pas ou facteur d’oubli de l’algorithme ∇J(w) ∈Rd Gradient en w de la fonction J : Rd →R ∇2J(w) Hessien de J(w) (matrice n × n symétrique) AT A∗ Transposée ou transconjuguée d’une matrice R = E(U.U T ) Matrice d’autocorrélation de (un) , > 0 cond(R) = λmax/λ1 Conditionnement de la matrice R > 0 ρ(A) = max(|λi(A)|) Rayon spectral de la matrice carrée A Tr(A) = P λi Trace de la matrice carrée A Sp(A) Spectre (ensemble des v.p.) de A Re λ(A) > 0 v.p. de A à partie réelle >0 U(n), ϕn, X(n) vecteur d’état de l’algorithme Avant-Propos Le Traité IC2 relève le double déﬁde l’accessibilité à tous des sciences et tech- niques, et du transfert de connaissances, dans le domaine Information, Traitement du Signal et Communications. Il était donc nécessaire qu’un de ses volumes fasse le point sur le Filtrage Adaptatif, domaine qui a connu une grande activité dans la communauté du Traitement du Signal et des images depuis les années 1970. C’est l’objectif de cet ouvrage, qui sera publié en deux volumes : Volume 1 : Théorie et algorithmes Volume 2 : Applications du Filtrage adaptatif en Signal et Télécommunications Le Volume 1 présenté ici se situe au niveau des algorithmes de réalisation adapta- tive (en ligne, dans des contextes éventuellement non stationnaires) des tâches d’op- timisation du TS : les domaines d’applications sont nombreux (ﬁltrage optimal de Wiener, annulation d’écho et suppression de bruit, égalisation ou ﬁltrage inverse, ana- lyse spectrale, compression de l’information, modélisation), et plusieurs d’entre eux seront approfondis dans le Volume 2. Pour des raisons de simplicité d’écriture et d’énoncé des résultats, nous traiterons exclusivement du Traitement de Signaux réels monodimensionnels,même si la plupart des méthodes exposées s’étendent à des cas complexes ou multidimensionnels. Nous nous proposons donc : 1) d’exposer les principes de base et les méthodes générales qui sous-tendent la multiplicité des approches que l’on trouve dans la littérature spécialisée : quelques idées simples doivent servir de guide pour se retrouver dans ce maquis, pour classiﬁer les algorithmes particuliers, et être capable de les adapter à un besoin spéciﬁque, 2) de donner un accès rapide et direct aux algorithmes, leur compréhension, leur utilisation, et les résultats que l’on peut en attendre : quelques exemples de base seront développés et permettront d’illustrer (y compris par des simulations) et de comparer les différents algorithmes, 5 6 Filtrage adaptatif 3) de donner les résultats mathématiques plus sophistiqués nécessaires à l’étude des problèmes de convergencedes algorithmes : ces compléments pourront alors servir d’introduction et de guide général pour aborder des ouvrages plus spécialisés ou des articles donnés en références. Cet ouvrage est une synthèse de nombreux travaux faits dans le domaine. Il pourra intéresser aussi bien des étudiants de 2◦et 3◦cycle universitaires ou des écoles d’ingé- nieurs utilisant le Traitement du Signal, que les ingénieurs ou scientiﬁques travaillant dans le domaine du Traitement du Signal et des Télécommunications. Le langage ma- thématique utilisé est accessible au scientiﬁque-ingénieur muni d’une culture standard de niveau second cycle universitaire en algèbre linéaire et probabilités-statistique. Des connaissances à ce niveau sont également requises concernant les concepts de base et problèmes du Traitement du Signal . Le contenu du livre Le Chapitre 1 présente le problème de base du Filtrage de Wiener, dans sa version de ﬁltrage RIF. Il est remis dans le contexte général des problèmes d’optimisation en TS, et on donne ensuite les algorithmes standards d’Analyse numérique permettant la résolution de l’optimisation déterministe de la fonction de coût de Wiener (Gradients, Moindres carrés). Le Chapitre 2 étudie les deux grandes classes d’algorithmes adaptatifs utilisés pour le Filtrage transverse (RIF) : gradients stochastiques (LMS) et Moindres carrés récursifs (RLS). Ceci constitue l’essentiel des utilisations courantes des traitements adaptatifs en TS, et les propriétés de convergence y sont étudiées par des méthodes spéciﬁques à ces deux algorithmes. Les variantes intermédiaires (NLMS, Projection afﬁne APA, algorithmes en treillis) sont aussi présentées. La convergence et les per- formances des algorithmes sont étudiés dans les contextes stationnaires. Le Chapitre 3 étend ces algorithmes à des modèles où la fonction de coût J(θ) n’est plus quadratique en θ. Les méthodes générales d’étude de la convergence tran- sitoire, du comportement asymtotique de ﬂuctuation en situation stationnaire, puis de poursuite de modèle en contexte lentement variable, sont développées et illustrées sur plusieurs exemples simples. En particulier des méthodes d’approximation de sous- espaces sont développées en détail, en montrant à la fois l’intérêt et aussi les limita- tions des méthodes et résultats généraux de convergence. Le Chapitre 4 présente plusieurs approches des Algorithmes de Moindres carrés rapides (MCR) indispensables pour la mise en oeuvre en temps réel de l’algorithme RLS : il s’agit de réduire la complexité de calcul pour la rendre proportionnelle à la longueur M du ﬁltre adaptatif. Sont ainsi développés les algorithmes transversaux rapides, puis les versions en treillis ou à base de décomposition QR. Le contrôle de la stabilité numérique de ces algorithmes est aussi abordé. Avant-Propos 9 Le Chapitre 5 approfondit le Filtrage RII adaptatif avec les différentes approches classiques des automaticiens (Equation d’erreur ou Erreur de sortie, Steiglitz-Mac Bride, Hyperstabilité). Les propriétés de convergence sont données. Ce chapitre com- plète donc naturellement les approches des Chapitres 2 et 3. Contenu du Volume 2 Ch6 Adaptation sans référence : l’algorithme CMA Inbar Fijalkow, Phillip Regalia Ch7 Implémentations et problèmes associés Olivier Sentieys Ch8 Annulation d’écho Jacob Benesty, André Gilloire, François Capman Ch9 Egalisation et communications Jacques Palicot, Maurice Bellanger, Inbar Fijalkow Ch10 Antennes adaptatives, algorithmes avec contrainte Pascal Chevalier, Jean-Marc Romano Ch11 Apprentissage non linéaire Jacques Palicot Notations Une liste de notations de base est jointe à l’ouvrage. Cependant, la diversité des auteurs ayant travaillé de façon autonome sur les différents chapitres n’a pu permettre une normalisation systématique et uniforme des notations. Le lecteur devra donc en tenir compte et s’adapter à la spéciﬁcité de certaines notations dans chaque chapitre : nous avons essayé qu’il n’y ait pas d’ambigüité dans l’interprétation de celles-ci dans leur contexte spéciﬁque de chaque chapitre. Références : Chaque chapitre a sa bibliographie intégrée. Les ouvrages et articles cités sont repérés par nom d’auteur et année, se référant à la bibliographie . Nous remercions chaleureusement tous les auteurs qui ont bien voulu contribuer à la réalisation de cet ouvrage, et lui donner ainsi toute sa richesse issue de la diversité de leurs expériences d’enseignants, de chercheurs et d’ingénieurs de la communauté du Traitement du Signal. François Michaut, Maurice Bellanger le 29 Mai 2005 Table des matières Avant-Propos . uploads/Litterature/ adaptatif.pdf