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3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique III - Le cycl

3IMRT, Particule chargée dans les champs électrique et magnétique III - Le cyclotron (énoncé et corrigé) Un cyclotron est constitué par deux demi-boites cylindriques D et D' à l'intérieur desquelles on établit un champ magnétique de vecteur représentatif B  . Dans l'espace compris entre les deux demi-boites, on établit une tension UDD’ allternative de valeur maximale U. Des ions positifs de charge q, de masse m sont injectés en O avec une vitesse négligeable. 1. La tension UDD’ est positive. a) Établir les expressions littérales en fonction de q, U et m, de l'énergie cinétique EC1 et de la vitesse v1 de ces ions à leur première arrivée en D'. On applique le théorème de l’énergie cinétique à un ion de masse m et de charge q soumis à la tension ou différence de potentiel UDD’ = VD- VD’ pendant son déplacement de D à D’ dans le référentiel terrestre supposé galiléen (Le poids de l’ion est négligeable par rapport à la force électrique exercée sur l’ion) EC(D’) – EC(D) = WDD’(  électrique F ) donc : EC1 – 0 = q(VD – VD’) = qUDD’ soit : EC1= |q|U (en assimilant UDD’ à sa valeur maximale U pendant le trajet très court de D à D’) EC1 = ½ mv2 donc : v1 = C1 2E m soit : v1 = 2 | q|U m Calculer EC en joule puis en électron-volts ainsi que la vitesse v. Données : q = 3,2. 10 -19 C, m = 3,3.10 -27 kg, U = 10 5 V. EC1 = 3,2 x 10 -19 x 105 = 3,2 x 10 -14 J = 3,2 x 10 -14 / 1,60 x 10-19 = 2 x 105 eV ( = 200 keV) V1 = 19 5 27 2 3,2 10 10 3,3 10       = 1,4 x 106 m.s-1 b) Ces ions pénètrent alors dans D'. Quel est ensuite leur mouvement ? Exprimer en fonction de B, q, U et m le rayon R1 de leur trajectoire. Calculer R1 si B = 1 T. Mouvement circulaire uniforme ; R1 = 1 mv | q|B = m 2 | q|U | q|B m soit : R1 = 1 2mU B |q| R1 = 27 5 19 10 1 2 3,3 10 1 3,2 10       = 0,045 m = 4,5 cm 2. Les ions ressortent de D'. On inverse alors la tension UDD’ en lui gardant la même valeur U. Établir les expressions : a) de leur vitesse v2 à l'entrée de D et leur énergie cinétique; L’ion se déplace de D’ avec l’énergie EC1 jusqu’à D avec l’énergie EC2 ; on applique le TEC : EC(D) – EC(D’) = WD’D(  électrique F ) donc EC2 – EC1 = q(VD’ – VD) = qUD’D = |q|U Soit : EC2 = EC1 +|q|U et comme EC1 = |q|U on obtient : EC2 = 2|q|U = 2EC1 v2 = C2 2E m = C1 4E m = C1 2 2E m et comme v1 = C1 2E m on obtient : v2 = 2 x v1 b) du rayon R2 de leur trajectoire dans D R2 = 2 mv | q|B = 1 2 mv | q|B soit : R2 = 2 x R1 c) du rayon de la trajectoire des ions en fonction de n, nombre de passages entre D et D' et de R1. premier passage, n= 1 : R2 = 2 x R1 deuxième passage, n= 2 : R3 = 2 x R2 = 2 x 2 x R1 = ( 2 )2 R1 troisième passage, n= 3 : R4 = 2 x R3 = 2 x( 2 )2 R1 = ( 2 )3 R1 en remarquant que 2 est à la puissance n , on généralise la formule du rayon : Rn+1 = ( 2 )n R1 ou bien Rn+1 = 2n/2 R1 3. Le cyclotron ayant un rayon de 49,5 cm, calculer le nombre de tours décrit par ces ions el leur énergie cinétique à leur sortie (en eV). ( 2 )n = Rn+1/R1 = 49,5/4,5 = 11 et en utilisant le logarithme népérien : n ( 2 )n = n(11) soit n.n ( 2 ) =n(11) ; n.n (21/2 ) = n(11) ; n 2 n(2) = n(11) Soit : n = 2 ln(11 ) ln(2)  ≈7 ; Rn+1 = Rcyclo = R = sortie mv | q|B donc vsortie = | q|BR m et EC(sortie) = ½ m v2 sortie = ½ m x 2 | q|BR m       soit : EC(sortie) = 2 2 2 q B R 2m ≈ 3,80 x 10-12 J ≈ 23,8 MeV uploads/Litterature/ exercice-corrige-sur-le-cyclotron.pdf