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Universit´ e de Poitiers, Guilhem Coq L3 Ann´ ee 2009-2010 6L20 : th´ eorie de

Universit´ e de Poitiers, Guilhem Coq L3 Ann´ ee 2009-2010 6L20 : th´ eorie de la mesure Exercices corrig´ es TD2 : fonctions mesurables, propri´ et´ es des mesures Exercice 1 Soit f : (E, T ) →(R, B(R)) une application mesurable et k > 0. On d´ eﬁnit fk par fk(x) = f(x) si |f(x)| ≤k k si f(x) > k −k si f(x) < −k Faire un sch´ ema. Montrer que fk est ´ egalement (T , B(R)) mesurable. Exercice 2 Soit (E, T ) un espace mesurable. 1) Montrer que A ∈T ⇐ ⇒ 1A est (T , B(R)) mesurable. 2) On suppose que T ̸= P(E). Exhiber une application f : E →R non (T , B(R))-mesurable et telle que |f| soit (T , B(R))-mesurable. On pourra essayer de faire en sorte que |f| = 1E. Exercice 3 Soit (E, T , µ) un espace mesur´ e et (An)n∈N une suite d’´ el´ ements de T . 1. On suppose que pour tout n, An ⊂An+1. Montrer que µ [ n∈N An ! = lim n→∞µ(An). 2. On suppose que pour tout n, An+1 ⊂An et que µ(A1) < ∞. Montrer que µ \ n∈N An ! = lim n→∞µ(An). Ce r´ esultat reste-t-il vrai sans l’hypoth` ese µ(A1) < ∞? 3. Dans l’espace mesur´ e (R, B(R), λ), montrer que λ({a}) = 0 pour tout a ∈R. En d´ eduire que λ(N) = λ(Z) = λ(Q) = 0. Exercice 4 Lemme de Borel-Cantelli Soit (E, T , µ) un espace mesur´ e, (An)n∈N une suite d’´ el´ ements de T tels que +∞ X n=0 µ(An) < ∞, et F la partie de E d´ eﬁnie par F = \ n∈N [ k≥n Ak ! . On dit qu’un ´ el´ ement de F appartient ` a une inﬁnit´ e des Ak, ou encore que F est l’ensemble limsup(An). 1 1) Montrer que F ∈T et que µ(F) = 0. C’est le lemme de Borel-Cantelli. 2) Application : soit (fn)n et f des fonctions d´ eﬁnies sur E ` a valeurs r´ eelles (T , B(R))-mesurable. On suppose que pour tout a > 0, on a : +∞ X n=0 µ(|fn −f| > a) < ∞. Montrer que la suite de fonctions (fn)n converge simplement µ-presque-partout vers f. Exercice 5 1) Soit E un ensemble non-vide, T = P(E) et a ∈E. On pose, pour tout A ∈T : δa(A) = 1 si a ∈A 0 si a / ∈A On appelle δa la mesure de Dirac en a. (i) Montrer que δa est eﬀectivement une mesure. (ii) Montrer que δa est σ-ﬁnie. (iii) D´ eterminer les parties de E n´ egligeables pour δa. 2) Soit D un ensemble d´ enombrable (i.e. en bijection avec N, c’est le cas de Z et Q par exemples) muni de la tribu T = P(D). Pour tout A ∈T , on pose µ(A) =Card(A). Si A est un ensemble ﬁni, µ(A) est alors son cardinal, si A est inﬁni, µ(A) = +∞. On appelle µ la mesure de comptage sur D. Reprendre les points de la question pr´ ec´ edente pour la mesure de comptage. Exercice 6 Soit (E, T , µ) un espace mesur´ e, (F, U) un espace mesurable et g : E →F une application (T , U)-mesurable. Pour tout B ∈U, on pose ν(B) = µ(g−1(B)). 1) Montrer que ν est une mesure sur (F, U). On dit que ν est la mesure image de µ par l’application g. 2) On se place sur (R, B(R), λ) et on consid` ere g : R →Z la fonction partie enti` ere. Montrer que g est (B(R), P(Z))-mesurable et d´ eterminer la mesure image de λ par g. 3) On se place sur (R, B(R), δa) o` u a est un r´ eel ﬁx´ e et on consid` ere g : R →R une application B(R)-mesurable. D´ eterminer la mesure image de δa par g. Exercice 7 Soit (E, T , µ) un espace mesur´ e, (F, U) un espace mesurable et g : E →F une application (T , U)-mesurable. On note g ⋆µ la mesure image de µ par l’application g : ∀B ∈U, (g ⋆µ)(B) = µ(g−1(B)). Soit f : F →R une fonction mesurable. Montrer que f est g ⋆µ-int´ egrable si et seulement si f ◦g est µ-int´ egrable et que dans ce cas on a : Z F f d(g ⋆µ) = Z E f ◦g dµ. Exercice 8 Soit (E, T , µ) un espace mesur´ e et h : E →[0, +∞] une application mesurable. Pour tout A ∈T , on pose ν(A) = Z A h dµ. 2 1) Montrer que ν est une mesure sur (E, T ). On dit que ν admet h comme densit´ e par rapport ` a la mesure µ, on note ν = h.µ ou dν = h dµ. 2) Soit A ∈T tel que µ(A) = 0. Montrer que ν(A) = 0. On dit que ν est absolument continue par rapport ` a µ. 3) Soit f : E →R une fonction mesurable. Montrer que f est ν-int´ egrable si et seulement si fh est µ-int´ egrable et que dans ce cas on a : Z E f dν = Z E fh dµ o` u fh d´ esigne la multiplication des fonctions. Exercice 9 Soit ε > 0. Construire un ouvert U de R, dense dans R tel que λ(U) ≤ε. On rappelle que Q est dense dans R et d´ enombrable. Exercice 10 1) Soit U un ouvert de R. Si U est born´ e, montrer que λ(U) est ﬁnie. La r´ eciproque est-elle vraie ? 2) Soit A un borelien de R. Si A contient un ouvert non-vide, montrer que λ(A) > 0. La r´ eciproque est-elle vraie ? Exercice 11 Dans cet exercice, on exhibe une partie de R non bor´ elienne. On consid` ere la relation xRy ⇔x−y ∈Q sur [0, 1[. (montrer que c’est une relation d’´ equivalence). Pour x ∈[0, 1[, on note x la classe de x modulo R. On appelle F l’ensemble obtenu en choisissant exactement un ´ el´ ement dans chaque classe. Autrement dit si y et z sont deux ´ el´ ements de F distincts, alors y ̸= z. Enﬁn, pour q ∈R, on d´ eﬁnit le translat´ e de F par q comme F + q = {y + q, y ∈F}. 1) Soit q et r deux rationnels distincts. Montrer que F + q ∩F + r = ∅. 2) Montrer que [0, 1[ ⊂ [ q∈Q∩[−1,1] F + q ⊂[−1, 2] 3) Supposons que F ∈B(R). Aboutir ` a une contradiction en consid´ erant λ   [ q∈Q∩[−1,1] F + q  . 3 TD3 ≥0 Exercice 12 Additivit´ e de l’int´ egrale de Lebesgue sur les fonctions positives Soit (E, T , µ) un espace mesur´ e. Soit f, g deux fonctions positives mesurables. Montrer que Z E f + g dµ = Z E f dµ + Z E g dµ. On pourra commencer par supposer que f et g sont ´ etag´ ees. Puis utiliser un th´ eor` eme d’ap- proximation de fonctions mesurables positives par des fonctions ´ etag´ ees et enﬁn le th´ eor` eme de convergence monotone (Beppo-Levi). Exercice 13 Int´ egration terme ` a terme d’une s´ erie de fonctions positives Soit fn une suite de fonctions mesurables positives sur (E, T , µ). On d´ eﬁnit la fonction F pour tout x ∈E par F(x) = ∞ X n=0 fn(x). Montrer que la fonction F est mesurable positive et que Z E F dµ = ∞ X n=0 Z E fn dµ. On pourra utiliser l’exercice pr´ ec´ edent et le th´ eor` eme de convergence monotone. Exercice 14 On travaille sur (N, P(N)) muni de la mesure de d´ enombrement µ : pour tout A ⊂N, µ(A) est le cardinal de A si A est ﬁni, µ(A) = +∞dans le cas contraire. 1) Soit f : N →[0, +∞] une fonction positive sur N. On peut ´ egalement voir f comme une suite de nombres r´ eels positifs un = f(n). En remarquant que f s’´ ecrit f = ∞ X n=0 f(n) 1{n}, expliciter la valeur de R N f dµ. 2) Soit (un,p)n,p∈N une suite double de r´ eels positifs. Montrer que ∞ X n=0 ∞ X p=0 un,p ! = ∞ X p=0 ∞ X n=0 un,p ! . 3) Calculer ∞ X p=2 ∞ X n=2 1 np ! Exercice 15 Int´ egrale de Gauss On se propose de calculer l’int´ egrale de Gauss : Z R e−x2 dx. 4 1) Soit x ∈R. Montrer que la suite (1 −x2/n)n converge vers e−x2 de mani` ere croissante (` a partir d’un certain rang). Pour la croissance, on pourra faire un d´ eveloppement limit´ e du logarithme du rapport de deux termes cons´ ecutifs. 2) On consid` ere la suite de fonctions fn(x) uploads/Litterature/ exercices-corriges-1 2 .pdf