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USTHB –FAC de Mathématiques L1 Math1_ SM- ST_ 2015/2016 Chapitre 4. Généralités

USTHB –FAC de Mathématiques L1 Math1_ SM- ST_ 2015/2016 Chapitre 4. Généralités sur les Fonctions-Fonctions Transcendantes M. ZIDANI BOUMEDIEN Page 1 I. Introduction Les fonctions sont des outils fondamentaux pour décrire le monde réel en langage mathématique. Une fonction met en correspondance deux variables, la variable indépendante (ou variable d'entrée, souvent notée x) et la variable dépendante (souvent notée y), de telle sorte que chaque valeur de la variable indépendante correspond à une valeur unique de la variable dépendante. Il faut cependant faire la distinction entre relations et fonctions : une relation compare deux objets dans un ordre prescrit, une fonction décrit la dépendance d’un objet par rapport à un autre objet. On confond souvent entre fonction et application mais elles sont différentes du point de vue ensemble de départ : pour l’application, l’ensemble de départ est égal au domaine de définition ce qui n’est pas nécessairement le cas pour une fonction. La dépendance entre les variables x et y s'appelle une "dépendance fonctionnelle". La lettre f, qui entre dans la notation symbolique de la dépendance fonctionnelle, indique qu'il faut appliquer certaines opérations à x pour obtenir la valeur correspondant y. Et on note : Il ne faut pas confondre la fonction f avec la valeur f(x) prise en x par la fonction f. On utilise les fonctions pour modéliser des situations. Exemple, exprimer l’aire d’un cercle en fonction du rayon : On peut décrire une fonction de trois façons : paires de points ordonnées (à partir des données recueillies lors d'une expérience par exemple), modèle (ou équation algébrique) ou représentation graphique. Exemple 1: Parmi les relations suivantes, lesquelles sont des relations fonctionnelles et lesquelles sont des relations non fonctionnelles? a) A = {(1, 3), (2, 5), (3, 7)} b) B = {(1, 2), (1, 5), (2, 3)} c) C = {(1, 2), (2, 2), (3, 2)} d) e) f) g) 12 = 3x – 4y II. Domaine de définition, Image Le domaine de définition (ou d’existence) d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs possibles permises de la variable indépendante. Notation : Le domaine image (ou l’image) d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de la variable dépendante qui correspondent à au moins une valeur de la variable indépendante prise dans le domaine. III. Opérations sur les fonctions III.1 Opérations algébriques sur les fonctions Soient deux fonctions sur leur domaine et respectivement. Alors, on définit les fonctions et comme suit:  et on a  et on a .  et on a III.2 Composition de fonctions Soit une fonction définie sur l’intervalle et une fonction définie sur l’intervalle . On suppose en plus que l’image de l’intervalle par la fonction est inclue dans J. La fonction composée des fonctions et est la fonction déﬁnie sur l’intervalle par . USTHB –FAC de Mathématiques L1 Math1_ SM- ST_ 2015/2016 Chapitre 4. Généralités sur les Fonctions-Fonctions Transcendantes M. ZIDANI BOUMEDIEN Page 2 III.3 Restriction Soit une fonction définie sur l’intervalle et soit un intervalle inclus dans . On appelle restriction de à et on note la fonction déﬁnie sur par . Autrement dit, les fonctions et prennent la même valeur en chaque point de l’intervalle mais la fonction n’est déﬁnie que sur cet intervalle alors que la fonction f est aussi définie aux points de I qui ne sont pas dans . Ce ne sont donc pas les mêmes fonctions (si ). III.4 Fonctions définies par morceaux On peut définir une fonction “par morceaux” c’est-à-dire par une formule pour chaque sous-intervalle du domaine de définition de la fonction. Par exemple, on peut définir une fonction en “deux morceaux” : à partir d’une fonction définie sur l’intervalle et d’une fonction définie sur l’intervalle , on obtient une fonction définie sur l’intervalle par . IV. Graphes Définition 1. On appelle graphe de f, l’ensemble des couples où . Définition 2. Dans un plan rapporté à un repère (généralement orthonormé), la courbe représentative de notée , est l’ensemble des points du plan avec : . Donc, tracer la courbe (ou représentation graphique ou courbe représentative) de la fonction c’est placer sur le plan muni d’un repère (généralement orthonormé) les points dont les coordonnées sont de la forme c’est-à-dire les points dont les coordonnées sont les éléments du graphe de . V. Propriétés des fonctions V.1. Périodicité Définition 3. Soit f est dite périodique (de période T) ssi ; b) T est la plus petite période qui vérifie b) et V.2. Parité Définition 4. Soit est dite paire (resp. impaire) ssi et (resp. ). V.3. Axe de symétrie Définition 5. Soit 1) f est dite symétrique par rapport à l’axe vertical ssi on a 2) f est dite symétrique par rapport au point ssi on a Remarque 1. Si la fonction est paire ou impaire et/ou périodique et/ou possède un axe ou un point de symétrie, son domaine d’étude est réduit selon la propriété de f. Remarque 2. Le graphe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des y. Le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. USTHB –FAC de Mathématiques L1 Math1_ SM- ST_ 2015/2016 Chapitre 4. Généralités sur les Fonctions-Fonctions Transcendantes M. ZIDANI BOUMEDIEN Page 3 V.4. Bornes Définition 6. Soit f une fonction définie sur . On dit que : 1) f est majorée par M (resp. minorée par m) sur si est une partie majorée (resp. minorée) de , c.-à-d. s’il existe un nombre réel M (resp. m) tel que (resp. ) pour tout réel x de . Ou encore, en notation mathématique, f est majorée par M (resp. minorée par m) sur si est bornée sur si est une partie bornée de , i.e. si V.5. Fonction monotone Définition 7. Soit f une fonction définie sur . On dit que f est croissante (resp. décroissante) sur si Remarque 3. La fonction est dite croissante si le graphe de la fonction s’élève vers la droite et décroissante si le graphe descend vers la droite. VI. Réciproque d’une fonction Soit les applications f représentées par les graphes suivants : f a 1 b 2 c 3 E F f a 1 b 2 ??? c 3 E F Dans le 1e exemple, f est une bijection (rappelons qu’une bijection est une application dont tous les éléments de l'ensemble d'arrivée ont un unique antécédent) donc on peut définir l’image réciproque (unique) de chaque élément de l’ensemble d’arrivée F mais ce n’est pas le cas dans le 2e exemple où 2 a deux antécédents et en plus, 3 n’a aucun antécédent : ici, on ne peut donc pas définir l’image réciproque de F ! On voit ainsi que pour avoir l’image réciproque des éléments de F, il faut que f soit bijective. On dit que est l’application inverse par la loi (composition de fonctions) ou encore l’application réciproque. Attention ! Ne pas confondre entre l’inverse d’une fonction (inverse par la multiplication) et réciproque (inverse par la loi « composition de fonctions) même si on les note de la même manière. Dans le cas général, si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f est bijective, elle admet donc une fonction réciproque. Définition 8. si ƒ est une application d'un ensemble E vers un ensemble F et s'il existe une application g de F vers E telle que : et , alors et sont des bijections, et est la bijection réciproque de ƒ, notée . Exemple de fonctions réciproques : Fonctions trigonométriques inverses Les fonctions trigonométriques sont des fonctions continues mais non injectives (d’où non bijectives) donc elles n’ont pas de fonction réciproque. Mais si le domaine de définition est restreint pour avoir une fonction bijective, leur réciproque existe et la représentation graphique de la fonction réciproque s’obtient en USTHB –FAC de Mathématiques L1 Math1_ SM- ST_ 2015/2016 Chapitre 4. Généralités sur les Fonctions-Fonctions Transcendantes M. ZIDANI BOUMEDIEN Page 4 appliquant une réflexion (symétrie) par rapport à la droite d’équation à la partie du graphe de la fonction d’origine. Si l’on restreint la fonction à l’intervalle fermé , la fonction admet une réciproque : la fonction arcsinus. De même la restriction des fonctions trigonométriques permet de définir leur fonction réciproque. x est l’angle mesuré en radians et si on applique la fonction réciproque de la fonction « sin » à y, on obtient x qui mesure l’angle, ou l’arc, décrit par cet angle. C’est l’origine de l’appellation « arcsinus ». De même, les fonctions inverses ou réciproques des fonctions trigonométriques cosinus et tangente (pour ne citer que celle là) sont appelées respectivement arccosinus et arctangente. Figure 1. Graphe de la fonction y=arcsin(x) Figure 2. Graphe de la fonction y=arccos(x) La fonction arcsinus est définie, continue, strictement croissante et impaire sur [-1,1] ; elle est indéfiniment dérivable sur ]-1, 1[. Elle est notée arcsin. Fonction arcsinus : . La fonction arccosinus est définie, continue, strictement croissante et impaire sur [-1,1] ; elle est indéfiniment dérivable sur ]-1, 1[. Elle est notée arccos. Fonction arccosinus : . La fonction arctangente est définie, continue, strictement croissante et uploads/Litterature/ generalite-sur-les-fonctions.pdf