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Jeux et énigmes Carrés magiques Mathématiques au quotidien Dossiers Forum Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices d'analyse > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Espaces Exercice 1 - Pour bien démarrer [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient . Démontrer que est intégrable. Indication Appliquer l'inégalité de Hölder avec de bons exposants. Corrigé On va appliquer l'inégalité de Hölder avec les exposants et , qui sont bien des exposants conjugués. On a alors Ceci prouve bien que est intégrable. Exercice 2 - Une variante de l'inégalité de Hölder [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit tels que . Soit et . Démontrer que et que Indication Poser et , et appliquer l'inégalité de Hölder à et et les bons exposants. Corrigé Posons et . Alors l'égalité assurent que et que ces deux exposants sont conjugués : . Posons alors et , et appliquons l'inégalité de Hölder au produit et aux exposants et . Il vient Lp f, g ∈ (R) L3 g f 2 p = 3 q = 3/2 | (x)| × |g(x)|dx ≤ × < +∞. ∫ R f 2 ( |f ) ∫ R |2× 3 2 2/3 ( |g ) ∫ R |3 1/3 g f 2 p, q, r ≥1 + = 1 p 1 q 1 r f ∈ (μ) Lp g ∈ (μ) Lq fg ∈ (μ) Lr ∥fg ≤∥f ⋅∥g . ∥r ∥p ∥q = f1 f r = g1 gr f1 g1 = p′ p r = q′ q r + = 1 p 1 q 1 r , ≥1 p′ q′ + = 1 1 p′ 1 q′ = f1 f r = g1 gr f1g1 p′ q′ ce qui est bien le résultat que l'on voulait obtenir. Exercice 3 - Généralités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Décrire (en termes de suite) l'espace où est la mesure de dénombrement et . Montrer que dans ce cas si , et que l'inclusion est stricte. 2. Soit un espace mesuré avec . Si , montrer l'inclusion . Si muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue, montrer que l'inclusion est stricte. 3. Montrer que si , les espaces et ne sont pas comparables. 4. Donner un exemple de fonction dans pour tout , mais pas dans . Indication 1. Penser aux suites . 2. Utiliser l'inégalité de Hölder. 3. Penser aux fonctions définies par sur des ensembles bien choisies. 4. Quelle fonction tend vers en 0 moins vite que n'importe quel . Corrigé 1. est l'espace des suites telles que . Si , et , alors pour assez grand et on a , et donc la série est elle aussi convergente. D'autre part, on a . Si on choisit donc tel que et , alors . 2. On va utiliser l'inégalité de Hölder. Prenons . On a : Soit tel que , ie , d'exposant conjugué . L'inégalité de Hölder donne |fg dμ = | |dμ ∫ Ω |r ∫ Ω f1g1 ≤ ≤ ( | dμ) ∫ Ω f1|p′ 1/p′ ( | dμ) ∫ Ω g1|q′ 1/q′ ( |f dμ) ∫ Ω |p r/p ( |g dμ) ∫ Ω |q r/q = (N, P(N), ) ℓp Lp μd μd 1 ≤p ≤+∞ ⊂ ℓp ℓq 1 ≤p < q ≤+∞ (Ω, A, μ) μ(Ω) < +∞ 1 ≤p < q ≤+∞ (Ω) ⊃ (Ω) Lp Lq Ω = [0, 1] p ≠q (R) Lp (R) Lq ([0, 1]) Lp p ≥1 ([0, 1]) L∞ = 1/ un nα 1/xα −∞ 1/xα (N,P(N), ) Lp μd ( ) un | < +∞ ∑n≥1 un|p p < q ( ) ∈ un ℓp | | ≤1 un n | = | | ≤| un|q un|p un|q−p un|p | ∑n un|q = ∈ ⟺pα > 1 un 1 nα ℓp α qα > 1 pα ≤1 ( ) ∈ ∖ un ℓq ℓp f ∈ (Ω) Lq |f dμ = |f 1dμ. ∫ Ω |p ∫ Ω |q r rp = q r = q/p ∈[1,+∞[ r′ |f dμ ∫ Ω |p ≤ ≤ ( |f dμ) ∫ Ω |q 1/r ( dμ) ∫ Ω 1r′ 1/r′ μ(Ω ∥f . )1/r′ ∥1/r q Ainsi, est dans . Cette inclusion est stricte si . En effet, la fonction est dans si et seulement si . Prenant tel que et on voit que l'inclusion est stricte dans ce cas. 3. Supposons par exemple . Il suffit de prendre les fonctions définies par si , ailleurs, et pour dans , ailleurs. En raisonnant comme ci-dessus, on prouve que pour et , on a mais pas dans . Le contraire se produit avec (pour les mêmes valeurs de ). 4. La fonction est dans tous les espaces , car pour assez petit. Elle n'est pas bornée donc pas dans . Exercice 4 - Dépendance en [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit une fonction complexe, mesurable sur . 1. Soit . On suppose que . Montrer que pour tout , on a . En déduire que est un intervalle de . 2. Montrer que l'application est continue sur son domaine de définition. Indication 1. Distinguer les cas et . 2. Utiliser le théorème de continuité sous le signe "intégrale". Corrigé 1. On distingue deux cas: si , alors on a . Si , alors . Dans tous les cas, l'inégalité demandée est satisfaite et ainsi, si on obtient . est donc un intervalle, car pour tout , le segment est inclus dans I. 2. Il s'agit simplement d'une application du théorème de continuité sous le signe intégrale, car, en posant , alors: est mesurable pour tout . est continue pour tout . , fonction intégrable qui ne dépend pas de . Donc est continue. Exercice 5 - Dualité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé f (Ω) Lp Ω = [0,1] f(x) = 1/xα ([0,1]) Lp pα < 1 α pα < 1 qα > 1 p ≠q f f(x) = 1/xα x ∈]0,1[ f = 0 g(x) = 1/xα x [1,+∞[ g = 0 pα < 1 qα > 1 f ∈Lp Lq g α f(x) = 1/ln(x) ([0,1]) Lp |f ≤1/ |p x − − √ x ([0,1]) L∞ p f (R, B(R)) 1 ≤α < β < ∞ f ∈ (R) ∩ (R) Lα Lβ p ∈[α, β] |f ≤|f + |f |p |α |β {p ∈[1, +∞[, f ∈ (R)} Lp R p ↦∥f∥p |f(x)| ≥1 |f(x)| ≤1 |f(x)| ≤1 |f(x) ≤|f(x) |p |α |f(x)| ≥1 |f(x) ≤|f(x) |p |β f ∈ (R) ∩ (R) Lα Lβ f ∈ (R) Lp {p ∈[1,+∞[} = I α < β ∈I [α,β] F(p,x) = |f(x)|p x ↦|f(x)|p p p ↦|f(x)|p x |F(p,x)| ≤|f(x) + |f(x) |α |β p p ↦ |f(x) dx ∫R |p Soit un espace mesuré, et soit , où est l'exposant conjugué de . Soit définie par . 1. Montrer que est définie et continue. Montrer que . 2. En utilisant la fonction définie par si , sinon, montrer qu'en fait . Indication Corrigé 1. Il s'agit simplement d'une reformulation de l'inégalité de Hölder. 2. Calculons d'abord : D'autre part, On en déduit Exercice 6 - Intégrale d'une fonction de [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit avec . 1. Montrer que l'on peut définir, pour tout , . Justifier que . 2. Soit . Démontrer qu'il existe tel que . 3. En déduire que . Indication 1. Utiliser l'inégalité de Hölder. 2. Utiliser le théorème de convergence dominée. 3. Majorer par . Corrigé (Ω, A, μ) p ∈[1, +∞[ g ∈ (Ω) Lq q p T : (Ω) →C Lp T(f) = f dμ ∫Ω g ¯¯ ¯ T ∥T∥≤∥g∥q f f(x) = g(x)|g(x)|q−2 g(x) ≠0 f(x) = 0 ∥T∥= ∥g∥q ∥f∥p ∥f = |g(x) dx = ∥g . ∥p p ∫ R |p+pq−2p ∥q q T(f) = |g = ∥g . ∫ R |q ∥q q ∥T∥≥ = ∥g = ∥g . |Tf| ∥f∥p ∥q−q/p q ∥q Lp f ∈ (R) Lp 1 < p < +∞ x ≥0 F(x) = f(t)dt ∫x 0 F(x) O( ) =+∞ x(p−1)/p ε > 0 a > 0 ≤ε ( |f(t) dt) ∫+∞ a |p 1/p F(x) o( ) =+∞ x(p−1)/p |F(x)| |F(a)| + |f(t)|dt ∫x a 1. D'après l'inégalité de Hölder, on a Ceci prouve que est bien définie, et aussi que . 2. Il s'agit d'une application du théorème de convergence dominée. Notons en effet . Alors, pour tout , . De plus, et cette dernière fonction est intégrable. On en déduit que On en déduit immédiatement le résultat demandé. 3. Soit et associé par la question précédente. On va démontrer que, pour tout assez grand, on a ce qui prouvera le résultat. Choisissons . Alors On en déduit que, pour , Comme tend vers 0 lorsque tend vers , il existe tel que, pour , on a uploads/Litterature/ exercices-corriges-espaces-lp-pdf.pdf