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Dérivée En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesur

Dérivée En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse (instantanée) de l'objet. La dérivée d'une fonction est une fonction qui, à tout nombre pour lequel admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La dérivée en un point d'une fonction de plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici. La dérivée d'une fonction en est usuellement notée ou . On utilise aussi des notations spécifiques, en particulier en physique, pour désigner la dérivée par rapport au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre ( ), la dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. Cette notation est appelée « notation de Newton ». On utilise dans le même esprit, les notations prime et seconde pour noter la dérivée par rapport à l'espace. En analyse, le nombre dérivé en un « point » (réel) d'une fonction à variable et valeurs réelles est la pente de la tangente au graphe de au point . C'est le coefficient directeur de l'approximation affine de en ; ce nombre n'est donc défini que si cette tangente — ou cette approximation — existe. La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse permettant d'étudier les variations d'une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d'optimisation. En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. Par exemple, la vitesse instantanée d'un mobile est la valeur à cet instant de la dérivée de sa position par rapport au temps, et son accélération est la valeur à cet instant de la dérivée par rapport au temps, de sa vitesse. On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champ complexe et on parle alors de dérivée complexe. Pour une fonction de plusieurs variables réelles, on parle de la dérivée partielle par rapport à l'une de ses variables. Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. On en trouve un exemple dans l'article polynôme formel. Histoire Approche à partir de la pente de la tangente Définition formelle Dérivabilité et lien avec la continuité Fonction dérivée Notations Dérivées usuelles et règles de dérivation Dérivation numérique Précision de la dérivée numérique Dérivation graphique Dérivée d'ordre n Formule de Leibniz Propriétés des fonctions dérivables Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis Théorème de Darboux Dérivées de fonctions liées Analyse d'une fonction dérivée Dérivée et optimisation Dérivée algébrique Dérivée fractionnaire Dérivation en tant qu'application linéaire Notes et références Voir aussi Articles connexes Lien externe Bibliographie Sa création est liée à une polémique entre deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Néanmoins, on retrouve chez des mathématiciens plus anciens les prémices de ce type de calcul : Pierre de Fermat et Isaac Barrow notamment. L'histoire du calcul infinitésimal remonte même à l'Antiquité, avec Archimède. La notion de nombre dérivé a vu le jour au XVIIe siècle dans les écrits de Leibniz et ceux de Newton, qui le nomme fluxion et qui le définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». C'est à Lagrange (fin du XVIIIe siècle) que l'on doit la notation f '(x), aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de f en x. C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique. Sommaire Histoire Le graphique d'une fonction, dessinée en noir, et une ligne tangente à cette fonction, dessinée en rouge. La pente de la tangente est égale à la dérivée de la fonction au point marqué. Pour approcher cette notion de manière graphique, commençons par nous donner une courbe représentative d'une fonction continue dans un repère cartésien, c'est-à-dire tracée d'un seul trait de crayon, et bien « lisse » ; on dira là que la fonction associée est dérivable. Quel que soit le point que l'on choisit sur la courbe, on pourra alors tracer ce qu'on appelle une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de cette courbe. Si l'on trace la courbe et sa tangente et que l'on s'approche en zoomant suffisamment, on aura de plus en plus de mal à distinguer la courbe de sa tangente. Si la courbe « monte » (c'est-à-dire si la fonction associée est croissante), la tangente sera également montante ; inversement, si la fonction est décroissante, la tangente sera descendante. Si on se donne une abscisse pour laquelle la fonction est dérivable, on appelle nombre dérivé de en le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse . Ce réel donne de précieuses informations sur le comportement local d'une fonction : c'est la mesure algébrique de la vitesse à laquelle cette fonction change lorsque sa variable change. Ainsi, si le nombre dérivé d'une fonction est positif sur un intervalle, cette fonction sera croissante sur ce même intervalle. Inversement, s'il est négatif, elle sera décroissante. Lorsque le nombre dérivé est nul en un point, la courbe admet une tangente horizontale en ce point (pour plus de détails, voir Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée). Soit une fonction réelle à valeurs réelles définie sur une réunion quelconque d'intervalles non triviaux (c'est- à-dire non vides et non réduits à un point), et appartenant à l'intérieur de l'ensemble de définition . Pour tout tel que , on appelle taux d'accroissement de en et avec un pas de la quantité : Il s'agit du coefficient directeur de la droite reliant les points de coordonnées et . Si admet une limite finie lorsque tend vers 0, on dit que est dérivable en , auquel cas le nombre dérivé de en est égal à la limite de ce taux d'accroissement. On note alors : ou, de manière équivalente : Approche à partir de la pente de la tangente Définition formelle Fonction signe. Une fonction pour laquelle le taux d'accroissement en un point admet une limite finie (qui est le nombre dérivé) est dite dérivable en ce point. Ce calcul de limite revient graphiquement à rechercher la pente de la tangente à la courbe en ce point. Ainsi, le nombre dérivé d'une fonction en un point, s'il existe, est égal à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point : Une sécante s'approche d'une tangente quand Δx → 0. La dérivation peut aussi être définie pour des fonctions d'une variable réelle à valeurs dans d'autres ensembles que . Par exemple, une fonction d'une variable réelle, à valeurs dans , est dérivable en si et seulement si toutes ses coordonnées sont dérivables en ; et sa dérivée est la fonction dont les coordonnées sont les dérivées des coordonnées de . C'est un cas particulier de fonctions d'une variable vectorielle et à valeurs dans un espace vectoriel normé ou métrique. Typiquement, une fonction est dérivable si elle ne présente pas « d'aspérité », de rupture de pente ni de partie « verticale ». Une fonction qui n'est pas continue en un point n'y est pas dérivable : comme la fonction fait un saut, on ne peut pas définir de tangente, la limite du taux de variation est infini (la pente de la courbe est verticale). C'est le cas par exemple de la fonction signe en 0 : à gauche de 0, i.e. , ; en 0 : ; à droite de 0, i.e. , ; le taux de variation pour une largeur , vaut donc Dérivabilité et lien avec la continuité Fonction valeur absolue. Fonction racine cubique. et tend vers quand tend vers 0. Par contre, on peut définir une dérivée à gauche — dérivée partout nulle (tangente horizontale) sur — et une dérivée à droite — dérivée également nulle sur . Si une fonction est dérivable en un point alors elle est continue en ce point, mais la réciproque est fausse. Par exemple : la fonction valeur absolue est continue mais n'est pas dérivable en 0 : à gauche de 0, i.e. , la pente vaut ; à droite de 0, i.e. , la pente vaut . Il y a une tangente à gauche et une tangente à droite différentes, la pente en 0 n'est pas définie ; le taux de variation n'a pas de limite définie. C'est le cas général pour les courbes présentant un point anguleux. Il en est de même de la fonction racine cubique, qui a une tangente verticale en : le taux de variation a une limite infinie. La dérivabilité est a priori une notion locale (dérivabilité en un point), mais à toute fonction on peut associer sa fonction dérivée (prononcée « f prime »), donnée par où uploads/Litterature/ de-rive-e.pdf