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25/02/2021 Exercices corrigés -Matrices www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebrelineaire/matrices&type=fexo 1/11 Bibm@th.net Rechercher sur le site... Bibm@th Rechercher sur le site... 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Quelles sont les matrices carrées et les matrices symétriques? Indication Pour multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première vaut le nombre de lignes de la seconde. Corrigé On peut effectuer les produits . Seules les matrices et sont carrées, et seule la matrice est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Calculer lorsqu'ils sont définis les produits et dans chacun des cas suivants : 1. 2. 3. Indication Corrigé Exercice 3 - Commutant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et des réels non nuls, et Trouver toutes les matrices qui commutent avec , c'est-à-dire telles que . Indication Corrigé Exercice 4 - Annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé A = ( 1 2 3 ) , B = ( 1 −2 ) , C = ⎛ ⎜ ⎝ 2 1 −3 0 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ , D = (−2 5 5 0 ) , E = ⎛ ⎜ ⎝ −1 1 3 −1 −4 0 0 2 5 ⎞ ⎟ ⎠ . AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE D E D AB BA A = ( 1 0 0 0 ) , B = ( 0 0 0 1 ) A = ⎛ ⎜ ⎝ 0 2 1 1 1 0 −1 −2 −1 ⎞ ⎟ ⎠ , B = ( 2 0 1 −1 1 2 ) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 1 1 0 3 ⎞ ⎟ ⎠ , B = ( −1 1 0 1 2 1 0 0 ) a b A = ( a b 0 a ) . B ∈M2(R) A AB = BA 25/02/2021 Exercices corrigés -Matrices www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebrelineaire/matrices&type=fexo 3/11 On considère les matrices , et . Calculer , . Que constate-t-on? La matrice peut-elle être inversible? Trouver toutes les matrices telles que (où désigne la matrice nulle). Indication Corrigé Exercice 5 - Produit non commutatif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer deux éléments et de tels que : et . Indication Corrigé Exercice 6 - Matrices stochastiques en petite taille [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On dit qu'une matrice est une matrice stochastique si la somme des coefficients sur chaque colonne de est égale à 1. Démontrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique si . Reprendre la question si . Indication Corrigé Exercice 7 - Puissance -ième, par récurrence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Calculer la puissance -ième des matrices suivantes : Indication Corrigé Exercice 8 - Puissance -ième - avec la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit Calculer pour tout . En déduire . Indication Corrigé Exercice 9 - Matrices stochastiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit deux matrices telles que la somme des coefficients sur chaque colonne de et sur chaque colonne de vaut (on dit qu'une telle matrice est une matrice stochastique). Montrer que la somme des coefficients sur chaque colonne de vaut . Indication A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 1 3 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 1 0 1 0 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 1 1 2 1 0 −1 −1 ⎞ ⎟ ⎠ AB AC A F ∈M3(R) AF = 0 0 A B M2(R) AB = 0 BA ≠0 A ∈Mn(R) A n = 2 n = 3 n n A = ( 1 −1 −1 1 ) , B = ( 1 1 0 2 ) . n A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ , I = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ et B = A −I. Bn n ∈N An A, B ∈Mn(R) A B 1 AB 1 25/02/2021 Exercices corrigés -Matrices www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebrelineaire/matrices&type=fexo 4/11 Corrigé Exercice 10 - Puissance -ième sans division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit la matrice 1. Calculer et en déduire une relation simple liant , et . 2. Soit et les suites définies par , , , . Démontrer que, pour tout , on a 3. Démontrer que, pour tout , on a . 4. En déduire que, pour tout , et . Indication Corrigé Exercice 11 - Puissance -ième - avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Pour , déterminer le reste de la division euclidienne de par . 2. Soit . Déduire de la question précédente la valeur de , pour . Indication Corrigé Exercice 12 - Puissance -ième, avec polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit la matrice 1. Déterminer une relation simple liant et . 2. En déduire, pour , la valeur de . Indication Corrigé Exercice 13 - Produit et trace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] k U U = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . U 2 U 2 U I4 (αk) (βk) α0 = 1 β0 = 0 αk+1 = 3βk βk+1 = αk + 2βk k ∈N U k = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ αk βk βk βk βk αk βk βk βk βk αk βk βk βk βk αk ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . k ∈N βk+2 = 2βk+1 + 3βk k ∈N βk = 3k−(−1)k 4 αk = 3k+3(−1)k 4 n n ≥2 Xn X2 −3X + 2 A = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 −1 −1 2 −1 1 −1 2 ⎞ ⎟ ⎠ An n ≥2 k U U = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . I4, U U 2 k ≥0 U k 25/02/2021 Exercices corrigés -Matrices www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebrelineaire/matrices&type=fexo 5/11 Enoncé Soient . 1. On suppose que . Que dire de la matrice ? 2. On suppose que, pour tout , on a . Démontrer que . Indication Corrigé Exercice 14 - Centre de . [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer le centre de , c'est-à-dire l'ensemble des matrices telle que, pour tout , on a . Indication Corrigé Inverse de matrices Exercice 15 - Inverser une matrice sans calculs! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Soit . Montrer que , en déduire que est inversible et calculer . 2. Soit Calculer En déduire que est inversible puis déterminer 3. Soit . Calculer . En déduire que est inversible, et calculer . Indication Corrigé Exercice 16 - Inverse avec calculs! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Dire si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leur inverse : Indication Corrigé Exercice 17 - Inverse à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Pour quelles valeurs du paramètre la matrice suivante est-elle inversible? Dans ce cas, déterminer son inverse. A, B ∈Mn(R) tr(AAT) = 0 A X ∈Mn(R) tr(AX) = tr(BX) A = B Mn(R) Mn(R) A ∈Mn(R) M ∈Mn(R) AM = MA A = ⎛ ⎜ ⎝ −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 ⎞ ⎟ ⎠ A2 = 2I3 −A A A−1 A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 2 0 −1 1 1 −2 0 ⎞ ⎟ ⎠ . A3 −A. A A−1. A = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 −1 −1 2 −1 1 −1 2 ⎞ ⎟ ⎠ A2 −3A + 2I3 A A−1 A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ , B = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 2 1 1 2 0 2 3 ⎞ ⎟ ⎠ , C = ⎛ ⎜ ⎝ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ⎞ ⎟ ⎠ , I = ⎛ ⎜ uploads/Litterature/ exercices-corriges-matrices 1 .pdf