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Banque épreuve orale de mathématiques session 2023, CCINP, lière MP et lière

Banque épreuve orale de mathématiques session 2023, CCINP, lière MP et lière MPI Mise à jour : 07/09/22 EXERCICE 2 analyse Énoncé exercice 2 On pose f(x) = 3x + 7 (x + 1)2 . 1. Décomposer f(x) en éléments simples. 2. En déduire que f est développable en série entière sur un intervalle du type ]−r, r[ (où r > 0). Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justiant, le domaine de validité D de ce développement en série entière. 3. (a) Soit anxn une série entière de rayon R > 0. On pose, pour tout x ∈]−R, R[, g(x) = +∞ ∑ n=0 anxn. Exprimer, pour tout entier p, en le prouvant, ap en fonction de g(p)(0). (b) En déduire le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0. Corrigé exercice 2 1. En utilisant les méthodes habituelles de décomposition en éléments simples, on trouve : f(x) = 3 x + 1 + 4 (x + 1)2 . 2. D’après le cours, x 7− → 1 x + 1 et x 7− → 1 (x + 1)2 sont développables en série entière à l’origine. De plus, on a ∀x ∈]−1, 1[, 1 1 + x = +∞  n=0 (−1)nxn. Et, ∀x ∈]−1, 1[, 1 (1 + x)2 = +∞  n=1 (−1)n+1nxn−1 ( obtenu par dérivation du développement précédent). On en déduit que f est développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en série entière. Et ∀x ∈]−1, 1[, f(x) = 3 +∞  n=0 (−1)nxn + 4 +∞  n=0 (−1)n(n + 1)xn. C’est-à-dire : ∀x ∈]−1, 1[, f(x) = +∞ ∑ n=0 (4n + 7)(−1)nxn. Notons D le domaine de validité du développement en série entière de f. D’après ce qui précéde, ]−1, 1[ ⊂D. Notons R le rayon de convergence de la série entière ∑ (4n + 7)(−1)nxn. D’après ce qui précéde R > 1. Posons, pour tout entier naturel n, an = (4n + 7)(−1)n. Pour x = 1 et x = −1, lim n→+∞anxn= +∞donc ∑ (4n + 7)(−1)nxn diverge grossièrement. Donc R 6 1, 1 6∈D et −1 6∈D. On en déduit que D = ]−1, 1[. 3. (a) Soit anxn une série entière de rayon R > 0. On pose, pour tout x ∈]−R, R[, g(x) = +∞ ∑ n=0 anxn. D’après le cours, g est de classe C∞sur ]−R, R[. De plus, ∀x ∈]−R, R[, g′(x) = +∞ ∑ n=1 nanxn−1 = +∞ ∑ n=0 (n + 1)an+1xn g′′(x) = +∞ ∑ n=1 n(n + 1)an+1xn−1 = +∞ ∑ n=0 (n + 1)(n + 2)an+2xn. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 7 Banque épreuve orale de mathématiques session 2023, CCINP, lière MP et lière MPI Mise à jour : 07/09/22 et, par récurrence, on a : ∀p ∈N, ∀x ∈]−R, R[, g(p)(x) = +∞ ∑ n=0 (n + 1)(n + 2)(n + p)an+pxn = +∞ ∑ n=0 (n + p)! n! an+pxn. Ainsi, pour tout p ∈N, g(p)(0) = p!ap. C’est-à-dire, pour tout p ∈N, ap = g(p)(0) p! . (b) f est de classe C∞sur ]−1, 1[. Donc d’après la formule de Taylor-Young, au voisinage de 0, f(x) = 3 ∑ p=0 f (p)(0) p! xp + o(x3). (*) Or, d’après 3.(a), pour tout entier p, f (p)(0) p! est aussi la valeur du pième coecient du développement en série entière de f. Donc, d’après 2., pour tout entier p, f (p)(0) p! = (4p + 7)(−1)p. (**) Ainsi, d’après (*) et (**), au voisinage de 0, f(x) = 3 ∑ p=0 (4p + 7)(−1)pxp + o(x3). C’est-à-dire, au voisinage de 0, f(x) = 7 −11x + 15x2 −19x3 + o(x3). CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 8 Banque épreuve orale de mathématiques session 2023, CCINP, lière MP et lière MPI Mise à jour : 07/09/22 EXERCICE 8 analyse Énoncé exercice 8 1. Soit (un)n∈N une suite décroissante positive de limite nulle. (a) Démontrer que la série ∑ (−1)k uk est convergente. Indication : on pourra considérer (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N avec Sn = n ∑ k=0 (−1)k uk. (b) Donner une majoration de la valeur absolue du reste de la série ∑ (−1)k uk. 2. On pose : ∀n ∈N∗, ∀x ∈R, fn(x) = (−1)n e−nx n . (a) Étudier la convergence simple sur R de la série de fonctions ∑ n>1 fn. (b) Étudier la convergence uniforme sur [0, +∞[ de la série de fonctions ∑ n>1 fn. Corrigé exercice 8 1. (a) S2n+2 −S2n = u2n+2 −u2n+1 6 0, donc (S2n)n∈N est décroissante. De même S2n+3 −S2n+1 > 0, donc (S2n+1)n∈N est croissante. De plus S2n −S2n+1 = u2n+1 et lim n→+∞u2n+1 = 0, donc lim n→+∞(S2n −S2n+1) = 0. On en déduit que les suites (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N sont adjacentes. Donc elles convergent et ce vers une même limite. Comme (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N recouvrent l’ensemble des termes de la suite (Sn)n∈N, on en déduit que la suite (Sn)n∈N converge aussi vers cette limite. Ce qui signie que la série ∑ (−1)kuk converge. (b) Le reste Rn = +∞ ∑ k=n+1 (−1)kuk vérie ∀n ∈N, Rn6 un+1. 2. On pose : ∀x ∈R, ∀n ∈N∗, fn(x) = (−1)n e−nx n . On a alors ∀n ∈N∗, fn(x) = (−1)nun(x) avec un(x) = e−nx n . (a) Soit x ∈R. Si x < 0, alors lim n→+∞fn(x)= +∞, donc ∑ n>1 fn(x) diverge grossièrement. Si x > 0, alors (un(x))n∈N est positive, décroissante et lim n→+∞un(x) = 0. Donc d’après 1.(a),  n>1 fn(x) converge. Donc ∑ n>1 fn converge simplement sur [0, +∞[. Remarque : pour x > 0, on a aussi convergence absolue de  n>1 fn(x). En eet, pour tout réel x > 0, n2fn(x)= ne−nx − → n→+∞0 donc, au voisinage de +∞, fn(x)= o 1 n2  . (b) Comme ∑ n>1 fn converge simplement sur [0, +∞[, on peut poser ∀x ∈[0, +∞[, Rn(x) = +∞ ∑ k=n+1 fk(x). Alors, comme, ∀x ∈[0, +∞[, (un(x))n∈N est positive, décroissante et lim n→+∞un(x) = 0, on en déduit, d’après 1.(b), que : CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 16 Banque épreuve orale de mathématiques session 2023, CCINP, lière MP et lière MPI Mise à jour : 07/09/22 ∀x ∈[0, +∞[, Rn(x)6 e−(n+1)x n + 1 . Et donc ∀x ∈[0, +∞[, Rn(x)6 1 n + 1. (majoration indépendante de x) Donc Rn∞6 1 n + 1. Et comme lim n→+∞ 1 n + 1 = 0, alors (Rn) converge uniformément vers 0 sur [0, +∞[. C’est-à-dire ∑ n>1 fn converge uniformément sur [0, +∞[. CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 17 Banque épreuve orale de mathématiques session 2023, CCINP, lière MP et lière MPI Mise à jour : 07/09/22 EXERCICE 9 analyse Énoncé exercice 9 1. Soit X un ensemble, (gn) une suite de fonctions de X dans C et g une fonction de X dans C. Donner la dénition de la convergence uniforme sur X de la suite de fonctions (gn) vers la fonction g. 2. On pose fn(x) = n + 2 n + 1e−nx2 cos (√nx). (a) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (fn). (b) La suite de fonctions (fn) converge-t-elle uniformément sur [0, +∞[ ? (c) Soit a > 0. La suite de fonctions (fn) converge-t-elle uniformément sur [a, +∞[ ? (d) La suite de fonctions (fn) converge-t-elle uniformément sur ]0, +∞[ ? Corrigé exercice 9 1. Soit gn : X − →C et g : X − →C. Dire que (gn) converge uniformément vers g sur X signie que : ∀> 0, ∃N ∈N∀n ∈N, n > N = ⇒∀x ∈X, gn(x) −g(x)6  Ou encore, (gn) converge uniformément vers g sur X ⇐ ⇒ lim n→+∞  sup x∈X gn(x) −g(x)  = 0. 2. (a) On pose pour tout x ∈R, fn(x) = n + 2 n + 1e−nx2 cos (√nx). Soit x ∈R. Si x = 0, alors fn(0) = n + 2 n + 1, donc lim n→+∞fn(0) = 1. Si x 6= 0, alors lim n→+∞fn(x) = 0. En eet, fn(x)∼ +∞e−nx2cos (√nx) et 0 6 e−nx2cos (√nx) 6 e−nx2 − → n→+∞0. On en déduit que (fn) converge simplement sur R vers la fonction f dénie par : f(x) = 0 si x 6= 0 1 si x = 0 (b) Pour tout n ∈N, fn est continue sur [0, +∞[ et f non continue en 0 donc (fn) ne converge pas uniformément vers f sur [0, +∞[. (c) Soit a > 0. On a : ∀x ∈[a, +∞[, fn(x) −f(x)= fn(x)6 n + 2 n + 1e−na2 (majoration indépendante de x). Donc fn −f∞6 n + 2 n + 1e−na2. Par ailleurs, lim n→+∞ n + 2 n + 1e−na2 = 0 (car n + 2 n + 1e−na2 ∼ +∞e−na2). Donc (fn) converge uniformément vers f sur [a, +∞[. (d) On remarque que pour tout n ∈N, fn est bornée sur ]0, +∞[ car pour tout x ∈]0, +∞[, fn(x)6 n + 2 n + 1 6 2. D’autre part, uploads/Litterature/ exos-ccp.pdf