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La famille Bernoulli Introduction : Jacques (Jacob I) 1654-1705 Jean I (Johann

La famille Bernoulli Introduction : Jacques (Jacob I) 1654-1705 Jean I (Johann I) 1667-1748 /¯¯¯¯¯¯¯ | ¯¯¯¯¯¯\ Nicolas III 1695-1726 Daniel 1700-1782 Jean II (Johann II) 1710-1790 /¯¯¯¯¯¯¯ | Jean III (Johann III) 1744-1807 Jacob II 1759-1789 La famille Bernoulli est une grande famille suisse de mathématicien, celle-ci à joué un grand rôle dans le domaine des mathématiques et la physique durant toute la seconde moitié du XVIIe siècle, et tout le long du XVIIIe siècle. Originaire d’Anvers, les aïeux de cette famille quittèrent le pays vers 1567 pour fuir les persécutions du pouvoir catholique. Les Bernoulli sont devenus une famille de mathématicien après que les enfants de Nicolas se soient détournés de « l’entreprise familiale » du commerce d’épice auquel ils étaient destinés. Les Bernoulli ont brillé dans le domaine scientifique. On distingue trois personnes de cette famille qui ont eu un plus grand impact dans les mathématiques : Jacob I (Jacques), Johanne I (Jean), Daniel. I. Jacob I Bernoulli et son frère Johanne Bernoulli Jacob Bernoulli est l’ainé du regroupement de mathématiciens. Il obtient un diplôme en théologie et en philosophie (il termina ses études en 1676) pour satisfaire la volonté de ses parents. Cependant il se tourna très vite vers les mathématiques et l’astronomie malgré l’avis de son père. Il choisir donc la devise latine : «Invito patre sidera verso» que Fontenelle traduit par « je suis parmi les astres malgré mon père » (1707). Après ses études, il entreprend de 1676 à 1683 des voyages en France, en Angleterre, aux Pays-Bas; il en profite pour rencontrer de nombreux mathématiciens et commencer une riche correspondance. De retour à Bâle, il devient professeur à l'université en 1687, poste qu'il occupera jusqu'à la fin de ses jours. On peut d’ailleurs noter que dans son mémoire présenté en 1684 pour l’obtention de cette place il explique : « En vérité celui qui embrasse la carrière de mathématicien n’est pas celui qui sait copier les inventions des autres, les retenir et les réciter si l’occasion s’en présente, mais innove celui-là même qui sait inventer ou révolutionner à l’aide de la divine algèbre ce qui a été inventé par d’autres». Ce qui reflète bien son envie de découvrir de nouvelles choses mais aussi son intérêt pour les découvertes passées. C’est d’ailleurs à partir de ce moment qu’il fera ses plus importantes avancés. Sa plus importante œuvre est « Ars conjectandi », publiée après sa mort par Nicolas III. Jean Bernoulli, (Johann) est un grand mathématicien et physicien suisse. Son père souhaite qu'il reprenne le commerce familial d'épices, mais cela n'intéresse pas Jean et il se dirigea vers des études de médecine même si les mathématiques « suscitèrent en lui une excitation singulière » (Bernoulli, Gedenkbuch, 1922). C’est à partir des années 1680 que les deux frères vont travailler ensemble étant tout à l’université de Bâle (Jacob entant que professeur et Johanne étudiant en médecine). Jacob lui apprend beaucoup sur les mathématiques. Ils vont ainsi travailler ensemble (sur les travaux de Leibniz qui vient d'inventer le calcul infinitésimal) et résoudre des problèmes. Cependant une rivalité naquit, et les querelles entre les deux hommes arrêtèrent cette collaboration. Jean enseigna les mathématiques à Groningue 1695, puis à Bâle, après la mort de Jacques 1705, et devint associé des Académies de Paris, de Londres, de Berlin et de Saint-Pétersbourg. Jean a eu le prestige d’avoir été l’enseignant de Leonhard Euler, un grand mathématicien. Il devint membre de la Royal Society le 1er décembre 1712. a Fonction exponentielle Avant les frères Bernoulli : C’est Neper (John Napier appelé en français Neper), (1550/1617), un mathématicien écossais qui introduit les logarithmes. Il introduit ceci pour simplifier les calculs du sinus, du cosinus, du produit et du quotient, mais il ne précise pas de base particulière pour ces logarithmes et les logarithmes les plus courants à cette époque sont ceux en base 10. Il crée ce terme en 1614 à partir des mots grecs logos pouvant signifier « rapport » et arithmos « nombre ». En effet Neper définit le logarithme comme le rapport de la distance à parcourir de deux mobiles, l’un se déplaçant à vitesse constante et l’autre à vitesse proportionnelle à la distance restant à parcourir. Le logarithme est alors le rapport de deux nombres. En 1661, Huygens est capable de faire le rapprochement entre l'aire sous l'hyperbole et les fonctions logarithmes. Comme e est le réel tel que l'aire sous l'hyperbole entre 1 et e vaille 1, il est probable que ce nombre fut remarqué à cette époque sans toutefois que l'on parle pour lui de la base du logarithme naturel. Les frères Bernoulli : C’est avec Bernoulli que l’on voit apparaître « e » comme nombre remarquable en 1683, époque a laquelle il s’intéresse aux calculs d’intérêt ce qui l'amène à étudier la limite de (1+1/n)n et a trouver 2 < e < 3.Cependant personne à ce moment ne fait le rapprochement entre ce nombre et les logarithmes naturels. En mai 1694 Jean prévient Leibniz qu’il vient de découvrir une nouvelle variété de courbes, « percutantes », par exemple y=ax et xx = y, il élève l’exposant x aux valeurs variables. Jean va développer le calcul exponentiel. Il publie en 1697. Avant même de prendre vraiment conscience de la notion de fonction, Leibniz et Bernoulli ont réalisé l’inversion de la fonction logarithme en passant de y = log(x) à x = ay Le mot fonction apparaît dans la correspondance entre Leibniz et Jean Bernoulli en juillet- août 1698, rendu public en 1718. On peut donc établir vers 1700 que la fonction exponentielle, est l’inverse de la fonction logarithmique vers 1700. Les acteurs qui ont suivis C’est en 1761 que e fut appelé nombre exponentiel par Euler (élève de Jean). b Calcul infinitésimal « Le génie de l’un et la profondeur de l’autre portèrent les plus beaux fruits par l’impulsion que leurs solutions donnèrent aux idées d’Euler et de Lagrange » (Ernst Mach, 1904). Le calcul infinitésimal à été formulé par Leibniz (aussi découvert par Newton vers la même période), c’est ensuite que les deux frères y attachent une grande importance et en la développant, multiplient ses utilisations en se l’appropriant à Bales vers 1680/1690. Le calcul devient avec eux un outil analytique. Analyse infinitésimale (ou calcul infinitésimal), est la branche de l'analyse constituée par le calcul différentiel et le calcul intégral, fondée sur l'étude des infiniment petits et des limites. Avant les frères Bernoulli : Déjà en 230 av.J.C. Archimède calcul le volume d’une pyramide ou d’une sphère en empilant des tranches donc on peut comprendre l’utilité de pouvoir décomposer un élément en plein d’éléments infiniment petits. C’est Newton qui découvre le calcul infinitésimal (dû à ses travaux en physique) en « premier » mais Leibniz (qui le découvre parallèlement) publie en ses résultats avant lui. Ce sont donc les notations de Leibniz qui ont été adoptées : le symbole ∫ pour les intégrales et df/dx pour les dérivées. C’est dans les années 1660 et 1670, que Newton et Leibniz démontrent le théorème fondamental stipulant qu’intégration et dérivation sont des opérations inverses. On utilise ainsi les éléments infinitésimales décrient par Newton comme une quantité variable qui tend à disparaître. Rôles des frères dans l’avancé du calcul : Anthony : intégral • Le terme intégral Jacob, en 1696, introduit le terme d’intégral qui provient du latin integer « entier, total » (une intégrale étant le rassemblement d’une infinité de termes infinitésimaux). Leibniz aurait préféré la nomination du terme calcul « sommatoire » cependant le signe d’intégration est toujours ∫. • La règle de l’Hospital On reconnaît l’action de Johanne Bernoulli sur une grande règle : Guillaume de L'Hospital, était un élève de Jean Bernoulli. Jean lui enseigna le calcul différentiel. L'Hospital est le premier à écrire un traité sur cet outil, le livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696) publié de façon anonyme. C'est dans ce livre qu'apparait la célèbre règle de L'Hospital, qui permet parfois de lever des formes indéterminées du type 0/0 et . Après la mort de celui-ci Johanne Bernoulli déclare que ces résultats sont les siens et que c’est à la suite d’un arrangement financier que celui-ci aurait pu publier ses découvertes. Règle de l’Hospital : Si f et g tendent toutes les deux vers 0 en a, ou vers , et si le rapport admet une limite finie à alors : • Quelques problèmes résolus grâce au calcul infinitésimal: Le calcul infinitésimal à permis de résoudre plusieurs problème, nous exposerons ici les plus connus. Dans les Lectiones calculi differentialis (1691/1692) Johanne résout des problèmes déjà traité mais cette fois-ci avec cette méthode de calcul. La courbe élastique C’est en 1691 que Jacob proposa le problème de la courbe élastique dans un article. Ce n’est que trois ans plus tard, après que personne ne répondit à son défit, qu’il donna la solution (en 1694). La courbe élastique est celle que l’on obtient lorsque l’on plie une baguette jusqu’à ce que les tangents aux extrémités soient perpendiculaires à une uploads/Litterature/ expose-bernoulli-2003.pdf