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Université du Québec à Montréal Session d’automne 2011 Groupe-cours 51 MAT1112

Université du Québec à Montréal Session d’automne 2011 Groupe-cours 51 MAT1112 - Calcul I Vivien Ripoll Rappels de trigonométrie I Propriétés fondamentales On considère un triangle rectangle, et un de ses angles non droits θ. cos θ = côté adjacent hypothénuse ; sin θ = côté opposé hypothénuse ; tan θ = sin θ cos θ = côté opposé côté adjacent. Sur le cercle trigonométrique (cercle de centre (0, 0) et de rayon 1), on déﬁnit la mesure d’un angle (en radians) comme la longueur de l’arc de cercle décrivant cet angle. (cos θ, sin θ) sont alors les coordonnées du point M correspondant à l’angle θ. Et tan θ est l’ordonnée du point d’intersection de la droite (OM) avec la droite d’équation x = 1 (tangente au cercle). Visualiser ou dessiner le cercle est un très bon moyen pour se souvenir des propriétés des fonctions trigonométriques. I.1 Valeurs particulières θ 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sin θ 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 cos θ 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 tan θ 0 1 √ 3 1 √ 3 non déﬁni Moyen mnémotechnique : la ligne des sin se lit √ 0 2 , √ 1 2 , √ 2 2 , √ 3 2 , √ 4 2 ; la ligne des cos est dans l’autre sens. Application pratique : couper un gâteau en 6 parts égales en utilisant cos π 3 = 1 2. I.2 Propriétés analytiques • cos et sin sont déﬁnies sur R, 2π-périodiques, et bornées (entre −1 et 1). • cos est paire, sin est impaire. • tan est déﬁnie sur R\{ π 2 + kπ, k ∈Z}, elle est impaire et π-périodique. Limites : à droite : lim x→( π 2 +kπ)+ tan x = −∞ ; à gauche : lim x→( π 2 +kπ)−tan x = +∞. • Dérivées : cos(x)′ = −sin x ; sin(x)′ = cos x ; tan(x)′ = 1 + tan2 x = 1 cos2 x. Tracé des courbes. (à connaître) 1 II Formules de trigonométrie II.1 Formules basiques : La série de formules suivante est à savoir absolument, et se retrouve facilement en visualisant le cercle trigonométrique : cos(−x) = cos x cos(π −x) = −cos x cos(π + x) = −cos x sin(−x) = −sin x sin(π −x) = sin x sin(π + x) = −sin x tan(−x) = −tan x tan(π −x) = −tan x tan(π + x) = tan x cos( π 2 −x) = sin x sin( π 2 −x) = cos x tan( π 2 −x) = 1 tan x = cotan x Rappelons également : cos2 x + sin2 x = 1 II.2 cos et sin d’une somme Les formules suivantes sont très utiles ; il faut connaître au moins celles marquées (*), et savoir retrouver les autres rapidement à partir de celles-ci. cos(a + b) = cos a cos b −sin a sin b (∗) cos(a −b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a (∗) sin(a −b) = sin a cos b −sin b cos a cos 2x = cos2 x −sin2 x sin 2x = 2 sin x cos x = 2 cos2 x −1 = 1 −2 sin2 x cos2 x = 1 + cos 2x 2 sin2 x = 1 −cos 2x 2 Les formules pour la fonction tan se retrouvent à partir de celles pour les cos et sin : tan(a + b) = tan a + tan b 1 −tan a tan b tan(a −b) = tan a −tan b 1 + tan a tan b II.3 Linéarisation et factorisation On déduit de la série précédente les formules de linéarisation d’un produit de cos ou sin. cos a cos b = 1 2(cos(a −b) + cos(a + b)) sin a sin b = 1 2(cos(a −b) −cos(a + b)) sin a cos b = 1 2(sin(a −b) + sin(a + b)) En posant p = a −b et q = a + b dans les formules précédentes, on obtient les formules de factorisation de sommes de cos ou sin : cos p + cos q = 2 cos p + q 2 cos p −q 2 cos p −cos q = −2 sin p + q 2 sin p −q 2 sin p + sin q = 2 sin p + q 2 cos p −q 2 2 III Fonctions trigonométriques réciproques III.1 Rappels sur les fonctions réciproques Soient I, J deux intervalles, et f : I →J une fonction d’une variable. On suppose que f est bijective (c’est-à-dire : pour tout y ∈J, il existe un unique x ∈I tel que f(x) = y). Alors f admet une fonction réciproque, notée f−1. C’est l’unique fonction g telle que : ∀x ∈I, g(f(x)) = x et ∀y ∈J, f(g(y)) = y . On a, pour x ∈I et y ∈J : y = f(x) ⇔x = f−1(y). On peut montrer que, si f est une fonction dérivable sur [a, b] telle que f′(x) > 0 pour tout x ∈]a, b[, alors f induit une bijection de [a, b] vers [f(a), f(b)]. De même, si f′(x) < 0 pour tout x ∈]a, b[, alors f induit une bijection de [a, b] vers [f(b), f(a)]. Dérivée de la fonction réciproque. Si f : I →J est bijective, et si f′(x) ̸= 0 pour tout x ∈I, alors f−1 est dérivable sur J et f−1(x)′ = 1 f′(f−1(x)) . Démonstration : Il suﬃt d’écrire f(f−1(x)) = x et de dérivée terme à terme en utilisant la dérivation d’une fonction composée ; on obtient f′(f−1(x)) × f−1(x)′ = 1. Ex. : • ln : ]0, +∞[→R est la réciproque de exp : R →]0, +∞[. • La fonction x 7→√x, de R+ dans R+, est la réciproque de la restriction à R+ de la fonction x 7→x2 (et elle n’est dérivable que sur R+∗). • La fonction x 7→ 3 √x, de R dans R, est la réciproque de la fonction x 7→x3 (elle n’est dérivable que sur R∗). Propriété des courbes. Le graphe de f−1 est le symétrique du graphe de f par rapport à la droite y = x. III.2 Les fonctions arccos, arcsin, arctan (a) La fonction x 7→cos x induit une bijection de [0, π] vers [−1, 1]. Sa réciproque est appelée la fonction arccosinus : arccos : [−1, 1] →[0, π] . Pour x ∈[−1, 1], arccos x est égal à l’unique angle θ dans [0, π] tel que cos θ = x. On a donc : ∀x ∈[−1, 1], cos(arccos x) = x. Attention : par contre arccos(cos θ) n’est pas forcément égal à θ (c’est égal à θ seulement quand θ ∈[0, π]). Dérivée : la fonction arccos est dérivable sur ] −1, 1[, et ∀x ∈] −1, 1[, arccos(x)′ = −1 √ 1 −x2 . (Ceci est utile pour calculer des primitives de fonctions faisant intervenir des racines.) Démonstration : pour θ ∈]0, π[, cos(θ)′ = −sin θ ̸= 0 donc pour x ∈]−1, 1[ (d’après la formule générale de la dérivée de la réciproque) : arccos(x)′ = 1 −sin(arccos x). Soit θ = arccos x : θ ∈]0, π[ donc sin θ > 0 et sin θ = √ 1 −cos2 θ = p 1 −cos2(arccos x) = √ 1 −x2, et on peut conclure. 3 (b) La fonction x 7→sin x induit une bijection de [−π 2 , π 2 ] vers [−1, 1]. Sa réciproque est appelée la fonction arcsinus : arcsin : [−1, 1] → h −π 2 , π 2 i . Pour x ∈[−1, 1], arcsin x est égal à l’unique angle θ dans [−π 2 , π 2 ] tel que sin θ = x. On a donc : ∀x ∈[−1, 1], sin(arcsin x) = x. Attention : par contre arcsin(sin θ) n’est pas forcément égal à θ (c’est égal à θ seulement quand θ ∈[−π 2 , π 2 ]). Dérivée : la fonction arcsin est dérivable sur ] −1, 1[, et ∀x ∈] −1, 1[, arcsin(x)′ = 1 √ 1 −x2 . Démonstration : pour θ ∈] −π 2 , π 2 [, sin(θ)′ = −cos θ ̸= 0, donc pour x ∈] −1, 1[, arcsin(x)′ = 1 cos(arcsin x). Soit θ = arcsin x : θ ∈] −π 2 , π 2 [ donc cos θ > 0 et cos θ = p 1 −sin2 θ = p 1 −sin2(arcsin x) = √ 1 −x2, et on peut conclure. Remarque : on note que arcsin(x)′ +arccos(x)′ = 0, donc que la somme de ces deux fonctions est constante sur l’intervalle ] −1, 1[. En fait on a : ∀x ∈[−1, 1], arcsin x + arccos x = π 2 . (c) La fonction x 7→tan x induit une bijection de ] −π 2 , π 2 [ vers R. Sa réciproque est uploads/Litterature/ formulaire-trigo.pdf