Mathématiques GEII – GIMP – GMP Informatique Mesures physiques Réseaux et Téléc

Mathématiques GEII – GIMP – GMP Informatique Mesures physiques Réseaux et Télécom • L’essentiel du cours • Exercices avec corrigés détaillés Parcours IUT Thierry Alhalel Florent Arnal Laurent Chancogne IUT 1re année Chapitre 1. Notions de base .................................................................................... 1 1.1 Généralités sur les fonctions . .............................................................................. 1 1.1.1 Domaine de définition . ......................................................................... 1 1.1.2 Propriétés graphiques d’une fonction .................................................. 2 1.1.3 Parité d’une fonction . ........................................................................... 3 1.1.4 Périodicité ............................................................................................ 4 1.1.5 Courbes de fonctions liées à une fonction donnée . .............................. 5 1.2 Trigonométrie ..................................................................................................... 6 1.3 Les nombres complexes . ..................................................................................... 11 1.3.1 Introduction . ......................................................................................... 11 1.3.2 Généralités ........................................................................................... 11 1.3.3 Forme trigonométrique ........................................................................ 12 1.3.4 Forme exponentielle . ............................................................................ 14 1.3.5 Résolution d’équations ........................................................................ 16 1.3.6 Nombres complexes et géométrie . ....................................................... 19 1.4 Fonctions usuelles . .............................................................................................. 21 1.5 Limites de fonctions ........................................................................................... 23 1.5.1 Limites à droite et à gauche ................................................................. 23 1.5.2 Limites des fonctions usuelles ............................................................. 23 1.5.3 Opérations sur les limites . .................................................................... 24 1.5.4 Théorèmes de comparaison ................................................................. 26 1.5.5 Asymptotes à une courbe . .................................................................... 27 1.6 Continuité et dérivation ...................................................................................... 28 1.6.1 Dérivation . ............................................................................................ 28 1.6.2 Continuité . ............................................................................................ 36 1.7 Généralités sur le calcul intégral ........................................................................ 38 1.7.1 Définition de l’intégrale de Riemann . .................................................. 39 1.7.2 Primitives et intégrales . ........................................................................ 40 Table des matières Table des matières VI 1.7.3 Propriétés de l’intégrale ....................................................................... 41 1.7.4 Applications de l’intégrale : valeurs moyenne et efficace ................... 42 1.7.5 Intégration par parties .......................................................................... 43 1.8 Suites numériques . .............................................................................................. 45 1.8.1 Généralités ........................................................................................... 45 1.8.2 Suites arithmétiques et géométriques .................................................. 46 1.8.3 Variations ............................................................................................. 47 1.8.4 Suites majorées, minorées . ................................................................... 48 1.8.5 Convergence . ........................................................................................ 48 1.9 Exercices pour s’entraîner .................................................................................. 50 1.9.1 Exercices de trigonométrie .................................................................. 50 1.9.2 Exercices sur les complexes . ................................................................ 51 1.9.3 Exercices sur les fonctions . .................................................................. 54 1.9.4 Exercices d’intégration ........................................................................ 56 1.9.5 Exercices sur les suites ........................................................................ 57 Chapitre 2. Analyse . .................................................................................................. 61 2.1 Fonctions réciproques . ........................................................................................ 61 2.1.1 Généralités ........................................................................................... 61 2.1.2 Fonctions monotones ........................................................................... 61 2.1.3 Représentation graphique dans un repère orthonormé ........................ 62 2.1.4 Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques ....................... 63 2.2 Méthodes de calcul intégral . ............................................................................... 69 2.2.1 Changement de variable . ...................................................................... 69 2.2.2 Cas de certaines fractions rationnelles . ................................................ 70 2.3 Notion d’intégrale généralisée . ........................................................................... 80 2.3.1 Intégrale d’une fonction bornée sur un intervalle non borné ............... 80 2.3.2 Intégrale d’une fonction non bornée sur un intervalle borné ............... 83 2.4 Suites récurrentes linéaires numériques ............................................................. 84 2.4.1 Suites récurrentes linéaires d’ordre 1 . .................................................. 84 2.4.2 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 . .................................................. 85 2.5 Développements limités . ..................................................................................... 88 2.5.1 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . ................................. 89 2.5.2 Formules de Taylor .............................................................................. 90 2.5.3 Développements limités . ...................................................................... 91 2.5.4 DL en un réel non nul. Développements asymptotiques ..................... 94 2.5.5 Applications ......................................................................................... 95 2.5.6 Exercices .............................................................................................. 96 Table des matières VII © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. 2.6 Résolution d’équations différentielles du 1er ordre . ...................................................  101 2.6.1 Qu’est-ce qu’une équation différentielle ? . .......................................... 101 2.6.2 Comment la résoudre ? Présence et absence des conditions initiales . . 101 2.6.3 Où trouve-t-on des équations différentielles ? ..................................... 102 2.6.4 Équations différentielles du 1er ordre à variables séparables ............... 102 2.6.5 Équations différentielles linéaires du 1er ordre avec second membre simple .............................................................. 103 2.6.6 Équations différentielles linéaires du 1er ordre et méthode de Lagrange ....................................................................................... 105 2.7 Résolution d’équations différentielles du 2e ordre . ..................................................  110 2.7.1 Généralités sur les équations differentielles linéaires du second ordre . ................................................................................. 110 2.7.2 Où trouve-t-on des équations du second ordre ? . ................................. 111 2.7.3 Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficients constants sans second membre .................................... 112 2.7.4 Solution particulière de l’équation avec second membre .................... 113 Chapitre 3. Algèbre linéaire .................................................................................... 119 3.1 Matrices et calcul matriciel . ................................................................................ 119 3.1.1 Définition et interprétation des matrices . ............................................. 119 3.1.2 Utilité d’une matrice ............................................................................ 120 3.1.3 Opérations simples sur les matrices . .................................................... 121 3.1.4 Multiplication de matrices entre elles . ................................................. 122 3.1.5 Quelques propriétés des opérations sur les matrices ........................... 123 3.1.6 Matrice transposée ............................................................................... 124 3.1.7 Matrices carrées (n, n) ......................................................................... 125 3.1.8 Matrices carrées inversibles ................................................................. 126 3.2 Système linéaire d’équations-algorithme du pivot de Gauss . ............................. 137 3.2.1 Position du problème ........................................................................... 137 3.2.2 Écriture matricielle du système . ........................................................... 137 3.2.3 Algorithme ou méthode du pivot de Gauss . ......................................... 138 3.3 Déterminants de matrices carrées ....................................................................... 145 3.3.1 Calcul pour des matrices carrées n = 2 et n = 3 . ................................. 145 3.3.2 Propriétés générales des déterminants ................................................. 145 3.3.3 Cas des matrices carrées n > 3 : mineurs et cofacteurs ....................... 146 3.3.4 Application aux systèmes linéaires à n équations et n inconnues . ................................................................................... 147 3.4 Espaces vectoriels . .............................................................................................. 152 3.4.1 Introduction . ......................................................................................... 152 Table des matières VIII 3.4.2 Définitions et exemples . ....................................................................... 154 3.4.3 Sous-espaces vectoriels . ....................................................................... 156 3.5 Familles libres et liées ........................................................................................ 161 3.5.1 Combinaisons linéaires et familles génératrices .................................. 161 3.5.2 Familles libres, bases et dimension . ..................................................... 162 3.5.3 Représentation matricielle de l’espace vectoriel n ............................ 166 3.5.4 Exercices .............................................................................................. 167 3.6 Applications linéaires ......................................................................................... 173 3.6.1 Introduction . ......................................................................................... 173 3.6.2 Image et noyau d’une application linéaire ........................................... 174 3.6.3 Matrices et applications linéaires . ........................................................ 174 3.6.4 Injections, surjections, bijection .......................................................... 176 3.6.5 Applications linéaires et changement de base ..................................... 179 3.6.6 Exercices .............................................................................................. 180 3.7 Polynômes et fractions rationnelles . ................................................................... 187 3.7.1 Polynômes . ........................................................................................... 187 3.7.2 Fractions rationnelles . .......................................................................... 190 Chapitre 4. Mathématiques et solution logicielle . ................................................ 199 4.1 Utilisation d’un logiciel de calcul formel : Maxima . .................................................  199 4.1.1 Présentation de Maxima . ...................................................................... 199 4.1.2 Généralités ........................................................................................... 200 4.1.3 Exemples de calculs effectués par Maxima ......................................... 200 4.2 Résolution approchée d’équations non linéaires ................................................ 204 4.2.1 Méthodes itératives .............................................................................. 204 4.2.2 Méthode de Newton (ou méthode de la tangente) ............................... 208 4.2.3 Comparaison avec la méthode de la dichotomie . ................................. 211 4.3 Algorithme d’Euler . ............................................................................................ 216 4.3.1 Mise en jambes et principe de l’algorithme . ........................................ 216 4.3.2 Algorithme d’Euler .............................................................................. 218 4.3.3 Sensibilité de la méthode d’Euler ........................................................ 219 4.3.4 Programmer Euler avec MAXIMA ..................................................... 221 Conseils Objectifs • Rappeler certaines notions, vues en Terminale S, dont une bonne maîtrise est indispensable pour aborder sereinement les chapitres suivants • Rappeler les notions fondamentales de l’analyse • Revoir les connaissances de base sur l’algèbre des nombres complexes et le plan complexe • Apprenez les formules rappelées dans ce chapitre • Entraînez-vous sur des exercices 1.1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Les fonctions seront utilisées fréquemment, notamment pour modéliser des phéno­ mènes continus. 1.1.1 Domaine de définition Définition 1.1 On appelle fonction numérique d’une variable réelle toute application dont les ensembles de départ et d’arrivée sont des ensembles de réels. On notera : f D x f x : ( ) Æ L’ensemble D est appelé l’ensemble de définition de f. Les intervalles de  sont des sous-ensembles particuliers de . Dans le cas où la fonction n’est connue que par l’écriture de f(x), on sous- entend que le domaine de définition est l’ensemble de tous les réels x tels que f(x) existe. Notions de base 1 Chap. 1. Notions de base 2 Exercice 1 : Recherche d’un domaine de définition Déterminez l’ensemble de définition de la fonction f x x :  3 4 2 - . Solution f x ( ) existe si et seulement si x2 4 0 - > (l’expression sous le radical doit être positive et le dénominateur doit être non nul). Considérons le polynôme x2 4 - . Ce polynôme admet deux racines : – 2 et 2. On rappelle qu’un trinôme du second degré ax bx c 2 + + est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de –a à l’intérieur des racines. Ici, a = 1 donc x x 2 4 0 2 2 - > € Œ -• - ] [ » +• ] [ ; ; . On peut donc conclure que le domaine de définition de f est : -• - ] [ » +• ] [ ; ; 2 2 . 1.1.2 Propriétés graphiques d’une fonction On se place dans un repère orthonormal du plan O i j ; ,  ( ). Définition 1.2 Soit f une fonction définie sur un ensemble I. L’ensemble des points M de coordonnées M x f x ( ; ( )), x I Œ , est appelé courbe représentative de f ou graphe de f . La courbe représentative de f a pour équation y f x = ( ). Exemple : Représentation graphique de la fonction « Partie entière » La fonction partie entière, notée E, est définie sur  par E x n ( ) = pour tout x tel que n x n £ < + 1. uploads/Litterature/ mathematiques-iut-1ere-annee-thierrye-alhalel.pdf

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• Publié le Aoû 18, 2022
• Catégorie Literature / Litté...
• Langue French
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