ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours

ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours : Hydrologie Générale / Thématique : Étude des crues ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Logo optimisé par J.-D.Bonjour, SI-DGR 13.4.93 Exercice no HA 0812 - Corrigé Estimation du débit de pointe de temps de retour 5 ans pour un bassin versant rural par la méthode rationnelle Données de l’exercice L’exercice porte sur le bassin versant expérimental suisse de Rottenbach situé dans la région des Préalpes (FR) et dont le régime d'écoulement est nivo-pluvial préalpin. Les caractéristiques physiographiques de ce bassin sont résumées dans le tableau 1-énoncé. Les autres données nécessaires à la réalisation de cet exercice se trouvent dans les tableaux 2 à 3 et les figures 1 à 2 de l’énoncé. Elles sont aussi regroupées dans le fichier Excel « HA0812_enonce.xls ». Une feuille de calcul Excel « HA0812_feuilledecalcul.xls » à compléter est aussi disponible pour faire l’exercice. Les résultats sont disponibles sur le fichier Excel « HA0812_corrige.xls ». Question 1 : Estimation des débits de pointe de temps de retour 2.33, 5, 20, 50, 100 ans par la méthode statistique (nécessite une longues séries de débits)  Méthode à appliquer : ajustement statistique d’une série de données L’objectif de cet exercice est d’estimer les débits de pointes (débits maximaux) correspondants à un certain temps de retour, c’est-à-dire à une certaine probabilité d’apparition donnée. L'analyse fréquentielle d'une longue série de débits maximaux permet d’estimer le temps de retour d'une valeur particulière. Cette prédiction repose sur la définition et la mise en œuvre d’un modèle fréquentiel qui est une équation décrivant (modélisant) le comportement statistique d’un processus. Ces modèles décrivent la probabilité d’apparition d’un événement de valeur donnée. C’est du choix du modèle fréquentiel (et plus particulièrement de son type) que dépendra la validité des résultats de l’analyse fréquentielle. Un modèle fréquentiel très souvent utilisé pour décrire le comportement statistique des valeurs extrêmes est la distribution statistique de Gumbel (loi double exponentielle ou loi de Gumbel). La fonction de répartition de la loi de Gumbel F(x) s’exprime de la manière suivante : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = b a x x F exp exp ) ( (1) avec la variable réduite suivante : b a x u − = (2) où a et b sont les paramètres du modèle de Gumbel. La distribution s’écrit alors de la manière suivante : ( ) exp( exp ) ( u x F − − = ) (3) et ( ) ( ) ) ( ln ln x F u − − = . (4) L’avantage d’utiliser la variable réduite est que l’expression d’un quantile est alors linéaire ( ). q q bu a x + = En conséquence, dès lors que les points de la série à ajuster peuvent être reportés dans un système d’axes u x − , il est possible d’ajuster une droite qui passe le mieux par ces points et d’en déduire les deux paramètres a et b de la loi. L’estimation des paramètres a et b de l’ajustement peut se faire graphiquement (ajustement à l’œil ou à l’aide d’une régression statistique), ou selon une méthode mathématique comme celle des moments (cf. ci-dessous). Mise à jour le 14.04.2004 HA 0812 - Page 1 En pratique il s’agit essentiellement d’estimer la probabilité de non dépassement F(xi) qu’il convient d’attribuer à chaque valeur xi. Il existe de nombreuses formules d’estimation de la fonction de répartition à l’aide de la fréquence empirique. Elles reposent toutes sur un tri de la série par valeurs croissantes permettant d’associer à chaque valeur son rang r. Des simulations ont montré que pour la loi de Gumbel, il faut utiliser la fréquence empirique de Hazen : ) ( ˆ x F [ ] ( ) 0.5 r r F x n − = (5) où r est le rang dans la série de données classée par valeurs croissantes, n est la taille de l’échantillon, x[r] la valeur de rang r. Rappelons encore que le temps de retour T d'un événement est défini comme étant l'inverse de la fréquence d'apparition de l'événement. Soit : 1 1 ( Q Q T ) F x = − . (6) A l’aide de l’ajustement, il est alors possible d’estimer le débit de pointe pour un temps de retour donné. Rappel : Méthode des moments La méthode des moments consiste à égaler les moments des échantillons avec les moments théoriques de la loi1. Par la méthode des moments les paramètres a et b sont calculés d’après les formules : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = . ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ˆ γ μ σ π b a b avec 5772 . 0 = γ (constante d’Euler). (7) avec σ : écart-type des valeurs composant l’échantillon. μ : moyenne de l’échantillon. Dès lors il est possible d’estimer les débits dont la représentation graphique est une droite d’équation : ˆ ˆ ˆ Q a b u = + ⋅ (8) avec : u: variable réduite (cf. équation (4)).  Démarche et résultats Etape 1 : Préparation de la série de données des débits de pointe. ƒ Trier les valeurs dans l’ordre croissant. ƒ Attribuer un rang à chaque valeur. Etape 2 : Calcul de la fréquence empirique pour chaque rang (Hazen, équation (5)). Etape 3 : Calcul de la variable réduite « u » du Gumbel (équation (4)). 1 Autrement dit : la méthode des moments consiste à égaler les caractéristiques de la distribution (empirique) des échantillons avec les caractéristiques théoriques de la loi. Les caractéristiques utilisées pour décrire une distribution sont les moments dont les plus connus sont la moyenne et la variance (la moyenne d’une distribution est appelée premier moment, la variance est le deuxième moment). Les moments d’ordre plus élevés sont utiles pour caractériser d’autres aspects de la distribution. Le troisième moment est par exemple lié à l’asymétrie ou la dyssimétrie. Mise à jour le 14.04.2004 HA 0812 - Page 2 Etape 4 : Représentation graphique des couples (ui, xi) de la série à ajuster (figure 1). Diagramme de Gumbel 0 2 4 6 8 10 12 14 -2 -1 0 1 2 3 4 Variable réduite de Gumbel u Débit [m3/s] Figure 1. Ajustement graphique du modèle (calcul des paramètres « a » et « b » de la droite d’ajustement de Gumbel par la méthode des moments) Etape 5 : Ajustement d’une relation linaire de type q q bu a x + = aux couples (ui, xi) (figure 1). Avec un ajustement de type graphique (à l’œil), on a alors une estimation des paramètres a1 et b1 : a1 = 1.96 et b1 = 3.97 Avec un ajustement par la méthode des moments, on a alors une estimation peu différente des paramètres a2 et b2 : a2 = 2.04 et b2 = 3.90 Vérifier de manière visuelle l’ajustement. On peut remarquer que l’ajustement est médiocre. A ce stade, il serait nécessaire de vérifier statistiquement que les valeurs observées sont estimées « de manière satisfaisante » à l’aide de tests d’ajustement appropriés. Etape 6 : Utilisation du modèle statistique pour estimer des débits de pointe de différents temps de retour T. Pour T=100 ans, on suit les étapes suivantes : ƒ Calcul de la fréquence de non-dépassement d’après la relation (6) : 1 1 ( ( )) 1 1 0,99 100 p F Q T T = − = − = ƒ Calcul de la variable réduite de Gumbel correspondante d’après la relation (4) : ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ( ( )) ln ln 0,99 4,6 p u F Q T = − − = − − = ƒ Calcul du quantile correspondant d’après la relation linéaire (avec a et b fournis par l’étape 5 précédente ) : 3 1 1 100 (100) 3.97 1,96 0.99 13 m /s p Q a b u = + ⋅ = + ⋅ = On a de même pour les autres temps de retour : Mise à jour le 14.04.2004 HA 0812 - Page 3 3 2,33 3 5 3 20 3 50 (2,33) 3,97 1,96 0,57 5,1 m /s (5) 3,97 1,96 0,8 6,9 m /s (20) 3,97 1,96 0,95 9,8 m /s (50) 3,97 1,96 0,98 11,6 m /s q q q q Q a bu Q a bu Q a bu Q a bu = + = + ⋅ = = + = + ⋅ = = + = + ⋅ = = + = + ⋅ = Question 2 : Estimation des débits de pointe de temps de retour 2.33, 5, 20, 50, 100 ans par la méthode rationnelle  Méthode à appliquer : la méthode pseudo-empirique de la formule rationnelle Le concept de la méthode rationnelle doit son origine à un ingénieur irlandais Mulvanay responsable de drainage agricole au siècle dernier (1850). Malgré de nombreuses hypothèses simplificatrices, c'est probablement de loin la formule la plus connue et la plus utilisée essentiellement à cause de sa simplicité, mais uploads/Litterature/ ha0812-corrige.pdf

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