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linéaire Programmation Université Virtuelle Africaine 1 Note Ce document est pu

linéaire Programmation Université Virtuelle Africaine 1 Note Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abréviation « cc-by »), Version 2.5. Université Virtuelle Africaine 2 I. La programmation linéaire____________________________________3 II. Conditions et connaissances préalables_ _________________________3 III. Durée du cours_ ___________________________________________3 IV. Supports pédagogiques______________________________________3 V. Justification_______________________________________________4 VI. Contenu__________________________________________________4 6.1 Aperçu et déroulement du module___________________________4 6.2 Sommaire du contenu du module___________________________5 6.3 Représentation graphique du module_ _______________________7 VII . Objectifs généraux__________________________________________8 VIII. Objectifs spécifiques d’apprentissage (Objectifs éducationnels)________9 IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage_ _____________________10 X. Activités d’apprentissage_ ___________________________________16 XI. Glossaire des termes-clés____________________________________55 XII. Liste des lectures obligatoires_ ________________________________61 XIII. Liste des supports multimédia ________________________________61 XIV. Liste des liens utiles________________________________________63 XV. Synthèse du module________________________________________65 XVI. Évaluation formative et cumulative_____________________________67 XVII. Références_______________________________________________80 XVIII. Structure du fichier________________________________________82 XIX. Auteur principal du module_ __________________________________83 Table des matières Université Virtuelle Africaine 3 I. La programmation linéaire Présenté par David K.J. Mtetwa II. Conditions et connaissances préalables Pour pouvoir s’inscrire à ce cours, l’étudiant doit au préalable avoir suivi les cours suivants : Mathématiques élémentaires et Algèbre linéaire qui sont aussi offerts dans ce programme. Une connaissance de l’indépendance linéaire, des bases, des opéra- tions matricielles, des inverses, des inégalités, des espaces vectoriels, des ensembles convexes et du dessin graphique est essentielle. Ces concepts et ces compétences sont généralement couverts par les cours obligatoires (ou des équivalents) mentionnés ici. Une compréhension de base de ces concepts, des concepts liés et une compétence raisonnable des manipulations matricielles et algébriques et des représentations graphiques doivent faire partie des acquis de l’étudiant pour ce module. Avant de commencer ce module, l’étudiant doit s’être familiarisé avec ces concepts et com- pétences de base. III. Durée du cours La durée du cours est d’au moins 120 heures d’étude. La section 1 représente 40 heures (20 heures pour chacune des activités), la section 2 représente 80 heures (20 heures pour la première activité, 34 heures pour la deuxième et 20 heures pour la troisième). Le reliquat de 6 heures est alloué aux activités d’évaluation anticipée (2 heures) et d’évaluation cumulative (4 heures). IV. Supports pédagogiques Les étudiants devront avoir accès à un ordinateur afin d’obtenir les lectures essentielles spécifiées un peu plus loin. Les étudiants devront aussi être en mesure d’installer les logiciels wxMaxima et Graph et de les utiliser pour mettre en pratique les concepts d’algèbre spécifiques à ce cours. Ces logiciels doivent être perçus comme étant des outils pédagogiques et d’apprentissage qui facilitent la compréhension des notions essentielles du module. Les supports pédagogiques suivants sont nécessaires pour entreprendre ce module de manière à tirer pleinement profit de l’enseignement et permettre, nous l’espérons, la réussite de ce cours : la version étudiant du module (format imprimé), un ordinateur avec un accès Internet et Microsoft Office 2003 ou plus, une calculatrice scientifique programmable, du matériel de dessin graphique, des CD contenant des fichiers téléchargés des sites recommandés, des CD contenant des logiciels mathématiques tels que MathType ou WinShell, Graph, wxMaxima, et, au moins un logiciel de programmation linéaire qui est téléchargeable et finalement, des lectures recommandées provenant de textes identifiés plus loin. Les lectures recommandées peuvent aussi être disponibles en format papier. Université Virtuelle Africaine 4 V. Justification L’étude de la programmation linéaire revêt toute son importance en raison de ses multiples applications, ainsi que de son apport à générer des techniques permettant de trouver des solutions optimales. La programmation linéaire est utile dans le processus de prise de décision notamment dans les décisions d’ordre quantitatif du monde des affaires, dans les entreprises d’ingénierie industrielle et, d’une façon moins importante, dans certaines activités des sciences de la vie et des sciences sociales. Les compétences acquises en programmation linéaire pourraient même être utiles pour les enseignants dans la gestion de certains aspects de leur vie personnelle et professionnelle. Ce module se veut une entrée en matière conviviale dans le monde des mathématiques de la programmation linéaire dynamique, des réseaux et de la recherche opérationnelle. L’étudiant pourrait même être amené à poursuivre des études plus avancées dans ces domaines. En outre, ce module : (a) est important en tant que tel, puisqu’il s’agit d’un cours de mathématiques de niveau universitaire et qu’il introduit un nouveau contenu et un style de raisonnement mathématique particulier. (b) intègre de façon très intéressante les concepts théoriques et leurs applications pratiques – de nature mathématique ou de la vie quotidienne. (c) est nécessaire pour le futur enseignant de sciences ou de mathématiques puisqu’il sera exposé à une jeune population étudiante ayant des intérêts de carrière très variés. Pour certaines de ces carrières, l’étudiant aurait avantage à se familiariser par une préparation adéquate concernant la programmation linéaire et l’optimisation. VI. Contenu 6.1 Aperçu — Description Ce module sert d’introduction à une approche mathématique particulière pour ana- lyser les activités de la vie courante et met l’accent sur la prise de décision dans des situations bien délimitées. Cette approche, nommée programmation linéaire, est ici présentée particulièrement sous l’angle de la manière de réfléchir et d’interpréter des énoncés mathématiques, plutôt que sur une compétence informatique en soi, qui elle, est laissée aux programmes en TIC, facilement accessibles. Ce module débute par la Section 1 qui inclut deux activités principales. La première, Formulation d’un problème de programmation linéaire, est une description mathéma- tique d’une situation problème et la deuxième activité, l’approche géométrique, porte sur une description visuelle d’une solution réalisable à une situation problème. En résumé, la Section 1 devrait amener l’étudiant vers une connaissance sommaire des situations de la vie quotidienne qui peuvent être modélisées en tant que problèmes de programmation linéaire. Université Virtuelle Africaine 5 La Section 2 comprend trois activités principales qui traitent d’algorithmes in- formatiques servant à trouver une solution possible optimale à des problèmes de programmation linéaire du même type que ceux formulés à la Section 1. L’activité 3 étudie les conditions nécessaires à l’optimalité d’une solution, qui est en soi de reconnaître qu’une solution s’approche et arrive à la meilleure solution potentielle. L’activité 4 présente la pièce de résistance des méthodes de calculs algébriques, le fameux algorithme du simplexe. Ce module s’attaque principalement à la logique de l’algorithme et des propriétés qualitatives associées : la dualité, la dégénérescence et l’efficience. La dernière activité porte sur le problème de la stabilité des solutions optimales obtenues relativement aux variations des intrants ou extrants spécifiques dans les contraintes et les fonctions économiques. L’analyse de sensibilité et d’opti- malité à posteriori est présentée ici dans le seul but de permettre une compréhension de base des stratégies analytiques utilisées. Déroulement de l’apprentissage Section 1 Décrire, définir, comprendre et identifier une situation problème de programmation linéaire générale ainsi que les solutions possibles. Section 2 Les stratégies informatiques servant à chercher des solutions à des problèmes de programmation linéaire, reconnaître des solutions possibles, les solutions optimales et les considérations d’efficience. 6.2 Sommaire du contenu du module Section 1 : Problème de programmation linéaire • Formulation d’un problème de programmation linéaire 1. La forme générale d’un problème de programmation linéaire. 2. Le problème de programmation linéaire standard • L’interprétation géométrique d’une solution à un problème de programmation linéaire 1. Deux dimensions 2. Plus de deux dimensions Université Virtuelle Africaine 6 Section 2: Les algorithmes informatiques Recherche et reconnaissance d’une solution potentielle : conditions d’optimalité pour une fonction économique à un problème de programmation linéaire 1. Délimitation 2. Convergence • Interprétation algébrique de la solution à un problème de programmation linéaire 1. Méthode du Grand M 2. Algorithme du simplexe 3. Dégénérescence 4. Efficience 5. Notion de dualité 6. Simplexe primaire 7. Simplexe dual Université Virtuelle Africaine 7 6.3 Représentation graphique du module MODULE UNIT 2 UNIT 1 ACTIVITY 3 Optimality Condition ACTIVITY 4 Algebraic Approach ACTIVITY 5 Sensitivity Analysis ACTIVITY 1 Formulation of the linear programming ACTIVITY 2 Geometrical Solution Convergence Boundedness LP problem in Standard General LP problems Duality Big M-Method Simplex Method Efficiency Degeneracy Primal Simplex Dual simplex Marginal Analysis Parametric Analysis 3-var PL 2-var PL Section 2 Section 1 Activité 3 Optimalité Activité 4 Approche algébrique Activité 5 Analyse de sensibilité Activité 1 Formulation d’une programmation linéaire Activité 2 Solution géométrique PL à 2 variables PL à 3 variables Convergence Dualité Simplexe primaire Simplese dual Efficience Dégénérescence Méthode simplexe Méthode du grand M Analyse paramétrique Analyse marginale Problème de pro- grammation linéaire Forme générale de programmation linéaire Délimitation Université Virtuelle Africaine 8 Homomorphismes et Isomorphismes Groupes et anneaux Structure algébrique Permutations et combinaisons Opérations booléennes LES ENSEMBLES Logique des propositions Les nombres réels Les fonctions et leurs représentation s graphiques Trigonométrie Les nombres complexes VII. Objectifs généraux À la fin de ce module • vous serez en mesure de : a) Comprendre les différents types de problèmes susceptibles d’être analysés par la programmation linéaire. b) Formuler des problèmes de programmation linéaire et de les résoudre en utilisant les techniques de géométrie et d’algèbre linéaire. c) Utiliser les logiciels mathématiques afin de résoudre des problèmes de pro- grammation linéaire. d) Discuter des notions théoriques de l’algèbre linéaire et géométrique par rapport à des contextes pratiques et concrets. e) vous familiariser avec uploads/Litterature/ introduction-a-la-programmation-lineaire-debutant-niveau-01.pdf