APPLICATION D’UN OBSERVATEUR A GRAND GAIN DISCRET A UN RESEAU HYDROGRAPHIQUE Ab

APPLICATION D’UN OBSERVATEUR A GRAND GAIN DISCRET A UN RESEAU HYDROGRAPHIQUE Abderraouf GAALOUL et Faouzi M’SAHLI Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir, Département de Génie Electrique, rue Ibn El Jazzar, 5019, Monastir, Tunisie. abderraouf.gaaloul@enim.rnu.tn, faouzi.msahli@enim.rnu.tn Résumé : Ce papier traite le problème d’estimation d’état des systèmes non linéaires discrets multi entrées multi sorties uniformément observables. Il s’agit de reconstruire les états non mesurables du système à partir de la connaissance des variables d’entrées/sorties. Alors que plusieurs travaux ont traité ce problème, dans le cas des systèmes continus, peu sont ceux qui ont abordé le cas des systèmes discrets. Parmi les stratégies d’estimation proposées dans la littérature, on s’est basé sur la technique de grand gain. Disposant du modèle mathématique d’un processus réel constitué d’un réseau hydrographique formé de quatre réservoirs disposés en cascade, on s’intéresse, ici, à estimer deux niveaux d’eau à partir de la mesure discrète de deux autres niveaux. Les résultats de simulation obtenus sont satisfaisants et montrent l’efficacité de la stratégie d’estimation adoptée. Le choix optimal du paramètre de synthèse de l’observateur sera aussi envisagé. Mots clés : Réseau hydrographique, Systèmes non linéaires MIMO discrets, Observateur à grand gain discret. 1. Introduction Durant les deux dernières décennies, plusieurs travaux de recherche ont traité le problème d’estimation d’état des systèmes physiques. Ceci est dû principalement à l’importance de la connaissance des états du système en vue de sa commande ou son diagnostic. En effet, multiples sont les lois de commande qui reposent sur l’utilisation implicite ou explicite des états du système [1- 3]. Afin d’implémenter telles lois de commandes, la connaissance des états du système semble, a priori, une phase primordiale à accomplir. Comme dans la plupart des cas, les procédés industriels admettent, généralement, quelques états non mesurables, on a souvent recours à reconstruire ces états à partir de la connaissance des entrées/sorties du système. Depuis l’apparition de l’observateur classique de Luenberger [4] et le filtre de Kalman [5] pour donner des solutions au cas des systèmes linéaires, les travaux ne cessent de se développer pour traiter le problème pour les systèmes non linéaires. Cependant, vû la diversité de ces derniers, il n’existe pas jusqu’à présent une méthode générale à adopter. La majorité des travaux concernent les systèmes non linéaires continus. Parmi les solutions proposées, dans la littérature, on peut citer, entre autres, l’observateur à mode glissant [6, 7] et le filtre de Kalman étendu [8-10]. Parmi les techniques d’estimation qui sont relativement récentes et qui ont prouvé leur convergence exponentielle globale, on trouve l’observateur à grand gain développé en 1992 par Gauthier et al. [11] pour les systèmes non linéaires affines en la commande mono sortie et uniformément observables pour toute entrée. Cet observateur est sujet à plusieurs contributions portant sur la classe des systèmes non linéaires considérée ainsi que sur le terme de correction de l’estimateur et des performances résultantes de son utilisation. Farza et al. [12] ont synthétisé un observateur à grand gain en vue de l’estimation de la vitesse cinétique au sein d’un réacteur. En plus de la stabilité de l’observateur proposé, l’erreur d’estimation s’annule en fonction du temps. Dans un travail ultérieur, les auteurs, dans [13], ont proposé une version améliorée de l’observateur à grand gain pour une classe plus large des systèmes non linéaires MIMO incluant la classe des systèmes considérée dans [12]. Par la suite, Farza et al. [14] ont établi un observateur dont le terme de correction inclut une fonction de synthèse satisfaisant quelques hypothèses et donnant naissance à différents observateurs tel l’observateur à grand gain, l’observateur à mode glissant et ses versions modifiées pour s’affranchir au phénomène de réticence résultant de l’utilisation de la fonction signe. Cependant, l’estimation d’état des systèmes discrets reste limitée surtout pour les systèmes non linéaires, malgré l’existence de quelques solutions proposées dans la littérature. Alessandri et al. [15] ont proposé un estimateur à horizon fuyant pour les systèmes linéaires discrets. Xu et al. [16] ont synthétisé un observateur discret pour une classe de systèmes non linéaires lipchitziens à retard sans et avec incertitude paramétrique variable au cours du temps et bornée en norme. De même, la version discrète de l’observateur à grand gain n’a pas pris une attention comparable au cas continu. Farza et al. [12] ont proposé et prouvé la convergence d’un observateur à grand gain discret. La version discrète d’un tel estimateur est issue de son homologue continu en utilisant une discrétisation avant d’Euler. Cette technique de discrétisation est utilisée aussi par Farza et M’Saad La cinquième Conférence Internationale d’Electrotechnique et d’Automatique, 02-04 Mai 2008, Hammamet, Tunisie 387 [21] pour établir un observateur à grand gain discret pour une autre classe des systèmes non linéaires. En plus de sa convergence exponentielle, cet estimateur présente l’avantage d’être simple à calibrer. Toutefois, il existe, dans la littérature plusieurs approches d’estimation d’état discrète des processus opérant dans un environnement stochastique comme par exemple le filtre de Kalman étendu [17, 18], le filtre de Kalman unscendu (Unscented Kalman Filter, noté UKF) [19] et le filtre pratique (Particle Filter) [20]. Pourtant, ces techniques sont issues des algorithmes complexes et dont la convergence globale n’est pas établie d’une manière rigoureuse. Dans un travail précédent [22], on a estimé deux niveaux d’eau non mesurables d’un réseau hydrographique à partir de la mesure de deux autres niveaux, et ceci en utilisant le filtre de Kalman étendu modifié donné par Reif et al. [9] et l’observateur à grand gain établi par Farza et al. [14] sous leurs versions continues. Vû la difficulté d’appliquer ces techniques sur le système réel en temps continu, on se propose, dans ce papier, qui est en fait une continuation de la référence [22], d’appliquer la version discrète de l’observateur à grand gain en se basant sur les travaux de Farza et M’Saad [21]. Ce papier est organisé comme suit. Dans le paragraphe suivant, on va formuler notre problématique en précisant la classe des systèmes non linéaires considérée à laquelle appartient le processus à l’étude. Le troisième paragraphe sera consacré à présenter une brève description de l’observateur à grand gain adopté. L’application de cette technique d’estimation sur le modèle du réseau hydrographique considéré fera l’objet du paragraphe 4. Ce papier sera achevé par une conclusion introduite au cinquième paragraphe. 2. Présentation du processus et formulation du problème L’objectif de ce travail consiste à estimer les états non mesurables d’un processus réel représenté par un réseau hydrographique constitué de quatre réservoirs disposés en cascade comme le montre le schéma synoptique présenté sur la figure 1. Il s’agit d’estimer les deux niveaux d’eau non mesurables à partir de la mesure en temps discret de deux autres niveaux. Les états du système sont constitués par les quatre niveaux d’eau au sein de chaque réservoir. Les deux entrées du système sont représentées par les deux débits Q1 et Q2. Sur ce procédé, on dispose uniquement de deux sorties mesurables h1 et h2 via deux capteurs ultrasoniques T1 et T2. Deux motopompes MCC1 et MCC2, équipées par deux débitmètres infrarouges D1 et D2 délivrant instantanément chacun une tension variable entre 0 et 5V image de la quantité d’eau traversée, sont utilisées pour transporter de l'eau d'une cuvette de récupération vers les quatre réservoirs. Fig. 1 : Schéma synoptique du processus considéré. Le processus considéré dans cette étude peut être décrit par les équations suivantes [23]: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + − = + + − = + + − = 2 10 4 9 4 1 8 3 7 3 4 6 3 5 2 4 2 4 3 3 2 1 1 1 u c x c x u c x c x x c x c x c x x c x c x c x     (1) où le vecteur d’état ( ) 4 4 3 2 1 ) ( ℜ ∈ = T h h h h t x , 4 , , 1 , … = = i h x i i , représente le niveau d’eau contenu dans chaque réservoir, ( ) 2 2 1 ) ( ℜ ∈ = T Q Q t u et ( ) 2 2 1 ) ( ℜ ∈ = T h h t y sont, respectivement, les vecteurs des entrées et des sorties du système, et les 10 , , 1 , … = k ck , sont les constantes du système et qui seront précisés plus tard. Ce procédé est, donc, un système non linéaire MIMO qui appartient à la classe des systèmes non linéaires considérée dans Farza et M’Saad [21], via un changement de variable approprié qu’on détaillera ultérieurement. Cette classe des systèmes peut s’exprimer en espace d’état, en supposant que 0 = k ε dans [21], comme suit : ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = + = 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( uploads/Litterature/ jtea-x27-08.pdf

Tags
littérature l’observateur systèmes grand états système
Documents similaires
  • 19
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager