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Transformée de Laplace par J. Monnier, professeur INSA Toulouse. Jerome.Monnier

Transformée de Laplace par J. Monnier, professeur INSA Toulouse. Jerome.Monnier@insa-toulouse.fr Janvier 2019 Résumé Introduction à la transformée de Laplace et son utilisation pour résoudre des Equations Diﬀé- rentielles Ordinaires linéaires (EDO) d’ordre n. Public visé : étudiants, professionnels en formation continue, cycle préparatoire de notre école d’in- génieur INSA. Table des matières 1 Introduction 2 2 Déﬁnitions & fondamentaux 3 2.1 Déﬁnition de cette transformée de Laplace L(·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Conditions d’existence de cette transformée de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Propriétés fondamentales de L(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.2 Opérateur inverse L−1(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.4 Translations et changements d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3.5 Transformée d’un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Images de fonctions usuelles 9 4 Résolution d’EDO linéaires par la transformée de Laplace 12 4.1 Exemple : une EDO linéaire d’ordre 1 très simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Cas général : EDO linéaire d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Pierre-Simon Laplace (1749 -1827) est un mathématicien, astronome, physicien et homme politique français, contemporain de la période napoléonienne. Il a apporté des contributions fondamentales dans diﬀérents champs de la théorie des probabilité, des mathématiques et de l’astronomie. 1 Introduction Soit f une fonction de R à valeurs dans C (voire Cn donc aussi potentiellement dans Rn ou R). La transformée de Laplace de f(x) notée L(f(x)) est un opérateur intégral conduisant à une nouvelle fonction de p, p la variable duale (p indépendante de x). On note la transformée F(p) : L : f(x) 7! F(p) = L(f(x))(p). Cette transformation mathématique fut introduite par P.-S. Laplace dans un cadre théorique de probabilités. La transformée de Laplace a la particularité de transformer très simplement la dérivée de la fonction originale f. En eﬀet on a : L(f 0(x))(p) = pF(p)–(0) Cette propriété permet un traitement simple des Equations Diﬀérentielles Ordinaires linéaires (EDO) d’ordre n (avec n ≥2 possible). Il suﬃt de transposer l’équation diﬀérentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation algébrique relativement simple à manipuler et résoudre. Pour revenir dans l’espace original (e.g. temporel), contrairement à la transformée de Fourier nous ne disposons pas d’expression explicite simple de la transformée inverse L−1. Mais comme L est injective, par le calcul et l’usage de tables il est possible d’inverser les images obtenues. (En fait la transformée inverse L−1 est une intégrale dans le plan complexe qui n’est en pratique pas utilisée). Du fait de ces propriétés, la transformée de Laplace est utilisée en automatique et asservissement pour déterminer la fonction de transfert d’un système linéaire. Contrairement à la transformée de Fourier F qui est utilisée pour la détermination du spectre d’un signal f, L tient compte de l’existence du régime transitoire précédant le régime permanent. Par exemple, la prise en compte de l’allure du signal avant et après la mise en marche d’un générateur de fréquence 1. Parmi les pré-requis à ce cours ﬁgurent les intégrales généralisées et la décomposition en éléments simples de fractions rationnelles. Des notes de cours sur ces sujets vous sont proposées en complément du présent manuscrit de cours. 1. Remarque issue de pages Wikipédia 2 2 Déﬁnitions & fondamentaux 2.1 Déﬁnition de cette transformée de Laplace L(·) Soit f(x) une fonction de R à valeurs dans C ou R. On appelle fonction causale une fonction déﬁnie sur R dont le support est borné à gauche en 0 i.e. f est nulle pour tout x < 0. Etant donnée une fonction g non causale, il suﬃt de considérer f(x) = H(x)g(x), H la fonction de Heaviside, pour obtenir la fonction correspondante en version causale. Dans tout ce cours nous supposerons que toutes les fonctions originales f(x) sont de partie réelle causale : R(f(x)) = 0 pour x < 0. Déﬁnition 1. Soit f(x) une fonction causale (ou de partie réelle causale). On appelle transformée de Laplace la fonction F(p) = L(f(x))(p) qui vériﬁe : F(p) = Z +1 0 f(x) exp(−px) dx (2.1) Terminologie. F(p) est l’image de l’originale f(x) ; x la variable primale ; p la variable duale. A noter que p pourrait être une variable complexe. Dans la pratique, p variable réelle est bien souvent suﬃsant. Dans toute la suite on suppose que p est une variable réelle. 2.2 Conditions d’existence de cette transformée de fonction La transformée de Laplace d’une fonction est une intégrale généralisée. Celle-ci doit donc être conver- gente pour être bien déﬁnie. Nous renvoyons le lecteur aux notes de cours relatives aux intégrales généralisées. Rappelons simple- ment qu’une condition nécéssaire (mais non suﬃsante...) est que l’intégrande, ici la fonction (f(x) exp(−px)) tend vers 0 en +1. Le domaine de déﬁnition DF de la transformée de Laplace F(p) est tout simplement l’ensemble des valeurs de p pour lesquelles l’intégrale (2.1) est convergente. Des conditions suﬃsantes de convergence de cette intégrale, et donc de bonne déﬁnition de la trans- formée, sont les suivantes. Proposition 2. Soit une fonction f(x) qui vériﬁe les trois conditions suivantes : — f admet une limite ﬁnie à gauche et à droite en tout point x de ]0, +1[. — |f(x)| croît moins vite à l’inﬁni qu’une certaine exponentielle. Plus précisément, il existe ↵2 R tel que |f(x)| cste exp(↵x) pour x ! +1 . — |f(x)| croît moins vite à l’inﬁni en 0 qu’une certaine fonction de Riemann. Plus précisément, il existe β 2 R, β < 1, tel que |f(x)| cste 1 xβ pour x ! 0+. 3 Alors sa transformée de Laplace F(p) existe (est bien déﬁnie) pour p suﬃsamment grand ; plus précisément pour p 2]↵, +1[. Aussi on a : lim p!+1 F(p) = 0 (2.2) Eléments de démonstration. cf notes manuscrites. On montre facilement que si pour p = a l’intégrale de Laplace est absolument convergente (F(a) est bien déﬁnie), alors F(p) est bien déﬁni pour tout p ≥a. En eﬀet, on a : 8p ≥a, 0 exp(−px) exp(−ax) et donc : 0 |f(x)| exp(−px) |f(x)| exp(−ax). D’où l’assertion. Exemples d’existence ou non. La transformée de Laplace de cos(x), F(p) = L(cos(x))(p), existe pour p > 0. En eﬀet on a : |F(p)|  R +1 0 | cos(x)| exp(−px) dx  R +1 0 exp(−px) dx. Cette intégrale est convergente pour p > 0. Par contre pour p = 0, F(p) = R +1 0 cos(x)dx n’admet pas de limite. Enﬁn pour p < 0, limp!+1(cos(x) exp(−px)) = +1 ; l’intégrale correspondante est donc divergente. On peut facilement montrer que la transformée de Laplace de exp(+x2) par exemple n’existe pour aucune valeur de p. 4 2.3 Propriétés fondamentales de L(.) 2.3.1 Linéarité L’opérateur de Laplace est par construction un opérateur linéaire. En eﬀet, pour toute fonction(f(x), g(x)) qui admettent une transformée de Laplace, on a : L ((f + g)(x)) (p) = L (f(x)) (p) + L (g(x)) (p) (2.3) 8λ 2 R, L (λf(x)) (p) = λ L (f(x)) (p) (2.4) 2.3.2 Opérateur inverse L−1(.) La transformée de Laplace inverse L−1(.) i.e. telle que L−1 ◦L(f) = f, peut s’exprimer sous la forme d’une intégrale dans le plan complexe. En eﬀet à l’aide du théorème dit des résidus, on obtient que : f(x) = L−1 (F(p)) (x) = 1 2⇡i Z γ+i·1 γ−i·1 eptF(p) dp (2.5) où γ est choisi tel que : a) suﬃsamment grand pour que l’intégrale soit convergente (γ doit être su- périeur à la partie réelle de toute singularité de F(p)) ; b) |F(p)| uploads/Litterature/ laplace.pdf