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VARIABLE ALÉATOIRE Connaissances : — Variable aléatoire réelle : modélisation d

VARIABLE ALÉATOIRE Connaissances : — Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d’une expérience aléatoire ; formalisation comme fonction déﬁnie sur l’univers et à valeurs réelles. — Loi d’une variable aléatoire. — Espérance, variance, écart type d’une variable aléatoire. I. Variable aléatoire Déﬁnition • L’ensemble de toutes les issues de l’expérience aléatoire est l’ univers des éventualités. On le note souvent Ω. Exemple : Pour les lancés d’un dé : Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de l’univers Ω. Exemple :A = { obtenir un chiﬀre impair }. • Un événement élémentaire est un événement contenant une seule issue. Exemple : B = " obtenir le chiﬀre 6". Déﬁnition Soit Ωun univers. Une variable aléatoire est une fonction, souvent notée X, qui à chaque évènement élémentaire de Ω, associe un nombre réel. Exemple 1. Jeu avec deux dés non pipés à six faces. Pour chaque chiﬀre supérieur à 3 on marque 1 point, pour chaque chiﬀre 3 on perd 2 points. Univers Ωde l’expérience aléatoire 1 2 3 4 5 6 1 (1 ;1) (2 ;1) (3 ;1) (4 ;1) (5 ;1) (6 ;1) 2 (1 ;2) (2 ;2) (3 ;2) (4 ;2) (5 ;2) (6 ;2) 3 (1 ;3) (2 ;3) (3 ;3) (4 ;3) (5 ;3) (6 ;3) 4 (1 ;4) (2 ;4) (3 ;4) (4 ;4) (5 ;4) (6 ;4) 5 (1 ;5) (2 ;5) (3 ;5) (4 ;5) (5 ;5) (6 ;5) 6 (1 ;6) (2 ;6) (3 ;6) (4 ;6) (5 ;6) (6 ;6) Nombre de points pour chaque évènement 1 2 3 4 5 6 1 0 0 −2 1 1 1 2 0 0 −2 1 1 1 3 −2 −2 −4 −1 −1 −1 4 1 1 −1 2 2 2 5 1 1 −1 2 2 2 6 1 1 −1 2 2 2 On note X l’application qui associe à chaque événement élémentaire de Ωle nombre de point corres- pondant : X : Événement élémentaire 7→Nombre de point(s). Ainsi, X((3,4)) = −1 II. Loi de probabilité d’une variable aléatoire Déﬁnition Si X est une variable aléatoire liée à une expérience aléatoire et si k est un nombre réel,(X =k) désigne l’évènement contenant tous les évènements élémentaires associés au nombre k. La probabilité de l’évènement (X =k) est notée p(X = k) 1 Exemple 2. Pour l’exemple précédent on constate que les valeurs possibles pour la variables aléatoire X sont {−4; −2; −1; 0; 1; 2}. On note le note ainsi : X ∈{−4; −2; −1; 0; 1; 2} A ces valeurs correspond un nombre d’issues. Par exemple : Notation Évènement issues Nombre d’issues {X = 0} avoir un score nul {(1; 1), (2; 1); (1; 2); (2; 2)} 4 {X = −3} avoir un score de −3 ∅ 0 {X ≤3} Avoir un score inférieur à 3 Ω 36 {−4 ≤X ≤−2} Avoir un score entre −2 et −4 {(3; 1), (3; 2); (3; 3); (2; 3); (1; 3)} 5 Les 36 issues étant équiprobables, on peut calculer la probabilité d’obtention des diﬀérents scores. Ainsi : p(X = 0) = 4 36 = 1 9 ; p(X = −3) = 0 ; p(X ≤3) = 36 36 = 1 ; p(−4 ≤X ≤−2) = 5 36. Déﬁnition La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est la fonction qui à chaque nombre réel k associe la probabilité de l’évènement (X =k). On la note souvent sous forme de tableau. Exemple 3. Avec le même exemple, on peut établir la loi de probabilité suivante : k −4 −2 −1 0 1 2 total p(X = k) 1 36 4 36 6 36 4 36 12 36 9 36 1 III. Espérance et variance d’une loi de probabilité Déﬁnition Soit la loi de probabilité d’une variable aléatoire X donnée : valeurs de X k1 k2 ... kn probabilité :p(X = k) p1 p2 ... pn On appelle : • Espérance de la variable X, le nombre : E(X) = Pn i=1 (pi × ki). • Variance de la variable X, la nombre : V (X) = Pn i=1 pi(ki −E(X))2. • Ecart-type de la variable X, la racine de la variance : σ(X) = » V (X). Exemple 4. E(X) = (−4)× 1 36 +(−2)× 4 36 +(−1)× 6 36 +0× 4 36 +1× 12 36 +2× 9 36 = 12 36 = 1 3 ≃0, 33. V (X) = 1 36 × Ä1 3 −(−4) ä2 + 4 36 × Ä 1 3 −(−2) ä2 + 6 36 × Ä 1 3 −(−1) ä2 + 4 36 × Ä 1 3 −0 ä2 + 12 36 × Ä 1 3 −1 ä2 + 9 36 × Ä 1 3 −2 ä2 = 1 36 × 169 9 + 4 36 × 49 9 + 6 36 × 16 9 + 4 36 × 1 9 + 12 36 × 4 9 + 9 36 × 25 9 = 169 + 196 + 96 + 4 + 48 + 225 324 = 738 324. On a : V (X) ≃2, 27778 et σ(X) = » V (X) = …738 324 ≃1, 509. Avec la calculatrice : Aller sur l’icône Statistiques, cliquer OK. par défaut s’ouvre l’onglet Données. Compléter les colonnes Valeurs V1 et Eﬀectif N1. Les probabilités (les pi) sont à saisir dans la colonne Eﬀectif N1. 2 Valeurs V1 Eﬀectifd N1 −4 0.027778 −2 0.11111 −1 0.16667 0 0.111111 1 0.333333 2 0.25 Se déplacer sur la ligne du menu et se positionner sur l’onglet Stats Cliquer sur OK. Apparaissent alors les résultats : V1/ N1 Eﬀectif total 1 Minimum −4 Maximum 2 Etendue 6 Moyenne 0.333333 Ecart type 1, 509 Variance 2, 27778 ............ ........... Les légendes des diﬀérents résultats sont celles utilisées en statistiques. La valeur intitulée moyenne correspond à l’espérance. les valeurs dans les autres lignes du tableau ont une signiﬁcation purement statistique. Avec un algorithme en Python : Lx = [-4,-2,-1,0,1,2] Lp=[1/36,4/36,6/36,4/36,12/36,9/36] def Esp(Lx,Lp) : L=[Lp[i]*Lx[i] for i in range(len(Lx))] return sum(L) def EcartType(Lx,Lp) : L=[Lp[i]*(Esp(Lx,Lp)-Lx[i])**2 for i in range(len(Lx))] return sum(L) >>>Esp(Lx,Lp) 0.3333333333333333 >>>EcartType(Lx,Lp) 2.2777777777777777 Dans un premier temps on déﬁnit les deux liste. La liste Lx contient les valeurs , la liste Lp contient les probabilités associées à chacune des valeurs et positionnées dans le même ordre. La notation Lx[i] renvoie le i-ème terme de la liste Lx. La liste L est construite dans les deux fonctions et contient les résultats des opérations réalisées avec les termes des listes Lx et Lp. len(Lx) donne la longueur de la liste Lx. L’instruction sum(L) réalise la somme des termes de la liste L. Remarque : Lorsque le calcul d’espérance porte sur un jeu, impliquant des pertes ou des gains, une espérance valant k est dite espérance de gain de k e. Lorsque l’espérance est nulle, on parle alors de jeu équitable. Propriété Soit E l’ensemble des issues d’un jeu de hasard et X la variable aléatoire déﬁnie sur E qui donne le gain du joueur. Dire que ce jeu est équitable signiﬁe que E(X) = 0. Exemple 5. Dans le jeu précédent, E(X) = 1 3 > 0. Ce jeu n’est pas équitable. S’il s’agissait d’un jeu d’argent, il favoriserait le joueur au détriment de l’organisateur. 3 Propriété Soit a et b deux nombres réels : E(aX + b) = aE(X) + b V (aX + b) = a2V (X) σ(aX + b) = |a|σ(X) Preuve : • E(aX + b) = Pn i=1 pi(axi + b) = p1(ax1 + b) + p2(ax2i + b)... + pn(axn + b) = ap1x1 + p1b + ap2x2 + p2b + ... + apnxn + pnb = a(p1x1 + p2x2 + ... + pnxn) + b(p1 + p2 + ... + pn) = aE(X) + b. • V (aX + b) = Pn i=1 pi(axi + b −E(aX + b))2 = Pn i=1 pi(axi + b −(aE(X) + b))2 = Pn i=1 pi(axi + b −aE(X) −b)2 = Pn i=1 pi(axi −aE(X))2 = Pn i=1 pia2(xi −E(X))2 = a2 Pn i=1 pi(xi −E(X))2 = a2V (X). • σ(aX + b) = » V (ax + b) = » a2V (X) = |a| » V (X) = |a|σ(X). Exemple 6. Dans le jeu précédent on E(X) = 1 3. Supposons que l’organisateur du jeu veuille mo- diﬁer le barème des gains. Cela revient à modiﬁer la variable aléatoire. Soit Y la nouvelle variable aléatoire telle que Y = 3X −1. Cela donnerai pour Y la loi de probabilité suivante : yi = 3xi −1 −13 −7 −4 −1 2 5 total p(X = k) 1 36 4 36 6 36 4 36 12 36 9 36 1 Le calcul de la nouvelle espérance donne : E(Y ) = E(3X −1) = 3E(X) −1 = 3 × 1 3 −1 = −1. On obtient E(Y ) < 0. Le jeu devient favorable à l’organisateur. 4 IV. Exercice de synthèse 1. Exercice 1 1..1 Énoncé On dispose d’une urne U contenant trois uploads/Litterature/ lecon-variablealeatoire-2020-21.pdf