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A2017 – MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TE

A2017 – MATH II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 3 heures L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Première répétition I Exponentielle tronquée Pour x réel strictement positif et n entier naturel, on pose Tn(x) = n ÿ k=0 nkxk k! et Rn(x) = +Œ ÿ k=n+1 nkxk k! · 1. Justiﬁer l’existence de Rn(x). Que vaut la somme Tn(x) + Rn(x) ? 2. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction t ‘æ ent, prouver pour tout réel x strictement positif, pour tout entier n, la relation : Rn(x) = enx nn+1 n! ⁄ x 0 (u e≠u)n du. Soit y un réel strictement positif. On pose an = nn+1 n! yn. 3. Calculer limnæ+Œ an+1/an. En déduire que, si y < e≠1, alors lim næ+Œ an = 0. 4. On suppose dans cette question que x œ]0, 1[. Montrer que la fonction u ‘æ u e≠u admet, sur [0, x], un maximum M tel que M < e≠1. En déduire qu’au voisinage de l’inﬁni, Rn(x) = o(enx) puis que Tn(x) ≥ næ+Œ enx. 5. Démontrer la relation n! = ⁄ +Œ 0 tne≠t dt pour tout n entier naturel. 6. Pour tout entier n Ø 1, montrer l’identité suivante : Tn(x) = enx nn+1 n! ⁄ +Œ x (u e≠u)n du. 1 7. En déduire que, si x > 1, alors Tn(x) = o(enx) lorsque n tend vers +Œ. On pourra l’écrire (ue≠u)n Æ (xe≠x)n≠1 u e≠u pour u Ø x. Une estimation asymptotique de Tn(x), pour x = 1, sera obtenue dans la suite du problème. II Méthode de Laplace On admettra la formule de l’intégrale de Gauss : ⁄ +Œ ≠Œ e≠t2/2 dt = Ô 2ﬁ. Soit f : [≠1, 1] ≠ æ R une fonction de classe C2 sur laquelle on fait les hypothèses suivantes : H1 : f(0) = 1 H2 : f ÕÕ(0) = ≠1 H3 : Pour tout x œ ] ≠1, 1[\{0} 0 < f(x) < 1 H4 : les nombres f(≠1) et f(1) appartiennent à l’intervalle [0, 1[. Pour x œ ] ≠1, 1[\{0}, on pose Ï(x) = ≠1 x2 ln 1 f(x) 2 . 8. Montrer que f Õ(0) = 0 puis, à l’aide d’un développement limité, déterminer k = limxæ0 Ï(x). On prolonge Ï en posant Ï(0) = k. 2 9. Montrer que la fonction Ï, sur ] ≠1, 1[, est minorée par un réel strictement positif. En déduire l’existence d’un réel a strictement positif tel que pour tout x œ [≠1, 1], on ait f(x) Æ e≠ax2. Indication : on pourra distinguer les cas où f(1) et f(≠1) sont non nuls des cas où l’un des deux au moins est nul. Pour tout n entier naturel non nul, on déﬁnit une fonction gn : R ≠ æ R par gn(u) = Y _ _ ] _ _ [ A f 3 u Ôn 4Bn si u œ [≠Ôn, Ôn], 0 sinon. 10. Montrer que chaque fonction gn est continue par morceaux sur R, et que la suite de fonctions (gn, n Ø 1) converge simplement sur R vers la fonction g telle que pour tout u œ R, g(u) = e≠u2/2. 11. En déduire que ⁄ 1 ≠1 1 f(x) 2n dx ≥ næ+Œ Û 2ﬁ n · On en déduit de la même manière que ⁄ 1 0 1 f(x) 2n dx ≥ næ+Œ Ú ﬁ 2n· (1) III Formule de Stirling Avertissement : même si elle fait partie du programme, on (re)démontre dans cette partie la formule de Stirling. 12. Pour tout entier n Ø 1, déduire de la question 5 que n! = nn+1 e≠n (In + Jn), 3 avec In = ⁄ 1 ≠1(x + 1)ne≠nx dx et Jn = ⁄ +Œ 1 (x + 1)ne≠nx dx. 13. Montrer que pour tout x Ø 1, x + 1 Æ 2x. En déduire une majoration de Jn. 14. En appliquant la méthode de Laplace, donner un équivalent de In. 15. En déduire que n! ≥ næ+Œ Ô 2ﬁn 3n e 4n · IV Formule de Bernstein On reprend les notations Tn(x) et Rn(x) introduites dans la partie I. 16. Pour tout entier n non nul, montrer l’identité suivante : Rn(1) = nn+1 n! ⁄ 1 0 (1 ≠t)nent dt. 17. En déduire un équivalent de Rn(1) lorsque n tend vers l’inﬁni. Prouver que Tn(1) ≥ næ+Œ 1 2 en. V Première répétition Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On eﬀectue n + 1 tirages avec remise. On note X le nombre de tirages nécessaires pour amener, pour la première fois, une boule déjà tirée. Par exemple, avec n = 5, si les 6 tirages donnent successivement 3-2-1-5-2-3, on pose X = 5. Pour représenter cette expérience, on introduit l’espace Ω= {1, · · · , n}n+1 et les variables aléatoires coordonnées (U1, · · · , Un+1) déﬁnies par Uj : Ω≠ æ {1, · · · , n} w = (w1, · · · , wn+1) ‘≠ æ wj. En d’autres termes, Uj est le numéro de la boule tirée au j-ième tirage. On suppose que la probabilité P sur Ωest telle que les variables aléatoires (Uj, j = 1, · · · , n+1) sont indépendantes et de loi uniforme sur {1, · · · , n}. 4 18. Pour une entrée liste= [w1, · · · , wn+1], écrire un pseudo-code ou un code Python pour calculer la valeur de X(w1, · · · , wn+1). Si nécessaire, on admettra l’existence d’une fonction qui permet de tester l’appartenance d’un élément w à une liste L : (w in L) renvoie « True » si w œ L, « False » sinon. 19. Montrer que pour k œ J2, n+1K, l’événement (X = k) est de probabilité non nulle. 20. Pour tout k œ J0, n ≠1K, montrer que P(X > k + 1) = P 1 X > k + 1 - - - X > k 2 P(X > k). 21. En déduire que pour tout k œ J0, nK, P(X > k) = n! nk (n ≠k)!· 22. Etablir l’identité suivante : E[X] = n ÿ k=0 P(X > k). 23. En utilisant les questions précédentes, donner un équivalent simple de E[X] lorsque n tend vers +Œ. Fin du problème 5 uploads/Litterature/ m-17-mp-2-e.pdf