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Université Moulay Ismail Année universitaire 20-21 Faculté des Sciences Filière

Université Moulay Ismail Année universitaire 20-21 Faculté des Sciences Filières : SMIA Département de Mathématiques Analyse (S1) Devoir Exercice 0. On dit qu'une partie A de R est dense dans R si pour tout x ∈R il existe une suite (an) d'éléments de A telle que lim n→+∞an = x. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes: 1. A est dense dans R. 2. Pour tous x, y ∈R, x < y, ∃a ∈A tel que x < a < y. 3. Pour tout intervalle ouvert non-vide I de R, I ∩A ̸= ∅. Exercice 1. 1. Soit x un nombre réel et soit n ∈N. Montrer qu'il existe un unique nombre décimal xn = pn 10n tel que xn ≤x < xn + 1 10n. Le nombre xn (resp. xn + 1 10n) est appelé la valeur décimale approchée à 10−n près par défaut (resp. par excès) de x (Indication: pn = E(10nx)). 2. Montrer que la suite (xn)n∈N est croissante. 3. Montrer que la suite (xn + 1 10n)n∈N est décroissante. 4. Déduire que les suites (xn)n∈N et (xn + 1 10n)n∈N sont adjacentes, et que lim n→+∞xn = x. 5. Déduire que l'ensemble des nombres décimaux D = { m 10n | m ∈Z, n ∈N} est dense dans R. 6. (Facultative) On écrit x = a, a1a2 · · · an · · · le développement décimal de x, où a ∈Z et a1, · · · ,an ∈{0, 1, · · · , 9}. Montrer que x ∈Q si et seulement si son développement décimal est périodique à partir d'un certain rang. Exercice 2. Soit A une partie non vide majorée de R et soit M un majorant de A. Pour n ∈N, on considère l'ensemble Dn := { E(10na) 10n | a ∈A}. 1. Montrer que M est un majorant de Dn. 2. On considère l'ensemble An := {E(10na) | a ∈A}. (a) Montrer que An est une partie majorée de Z. (b) Montrer que An possède un plus grand élément. 3. Déduire que Dn possède un plus grand élément dn. 4. Montrer que (dn)n≥0 est une suite croissante. (remarquer que 10E(10nx) ≤E(10n+1x) pour tout x ∈R). 5. Montrer que dn+1 < dn + 10−n (par l'absurde). 6. Soit (vn)n≥0 la suite dé nie par vn = dn + 10−n. (a) Déduire que (vn)n≥0 est une suite décroissante. (remarquer que E(10n+1x) ≤10(E(10nx) + 1) pour tout x ∈R). (b) Montrer que les suites (dn)n≥0 et (vn)n≥0 sont adjacentes. 7. Déduire que la suite (dn)n≥0 est convergente. 8. Soit d la limite de la suite (dn)n≥0 (a) Montrer que d est un majorant de A (par l'absurde, remarquons que si x > d alors il existe n ∈N tel que 10−n < x −d). (b) Montrer que d = sup(A). uploads/Litterature/ devoir-31-12-2020.pdf