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CALCUL ALGÉBRIQUE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET RADICAUX 1 Équations produits Propr

CALCUL ALGÉBRIQUE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET RADICAUX 1 Équations produits Propriété 1. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul. Ce résultat est facilement concevable : pour que le résultat d’une multiplication soit 0, il est nécessaire qu’(au moins) un facteur de la multiplication soit égal à 0. Réciproquement, si on multiplie 0 par n’importe quelle expression, le produit vaut 0. Grâce à cette propriété, on peut résoudre les équations qui sont de la forme « produit nul », comme par exemple (3x + 1)(8 −2x) = 0. Celle-ci est alors équivalente à 3x + 1 = 0 ou 8 −2x = 0 ⇐⇒ 3x = −1 ou −2x = −8 ⇐⇒ x = − 1 3 ou x = −8 −2 = 4. L’ensemble des solutions de l’équation (3x + 1)(8 −2x) = 0 est donc S = n − 1 3 ;4 o . Parfois, une factorisation permet de se ramener à une équation produit. Cherchons par exemple à résoudre l’équation (6 −4x)(4 + 3x) + 2(4 + 3x)(5 −x) = 0. Développer le membre de gauche aboutirait à une équation comportant un terme x2, c’est-à-dire, pour nous, une impasse (provisoire car nous apprendrons plus tard précisément à résoudre les équations du second degré). En revanche, il est possible ici de factoriser le membre de gauche, par (4x + 3). On obtient ainsi : (6 −4x)(4 + 3x) + 2(4 + 3x)(5 −x) = 0 ⇐⇒ (4 + 3x)(6 −4x) + 2(5 −x) = 0 ⇐⇒ (4 + 3x)(6 −4x + 10 −2x) = 0 ⇐⇒ (4 + 3x)(16 −6x) = 0 ⇐⇒ 4 + 3x = 0 ou 16 −6x = 0 ⇐⇒ 3x = −4 ou −6x = −16 ⇐⇒ x = − 4 3 ou x = −16 −6 = 8 3. Par conséquent, l’ensemble des solutions de l’équation est S = n − 4 3 ; 8 3 o . Équations, inéquations et radicaux CUEEP Littoral/GRETA Audomarois EXERCICE 1. Résoudre chacune des équations suivantes et indiquer son ensemble de solutions : 1. (4 −5x)(3x + 3) = 0 2. (5 + 8x)(4 −5x) = 0 3. 3(2x −12)(7 −x) = 0 4. (8 −4x)(9x + 5)(3 −5x) = 0. EXERCICE 2. Résoudre chacune des équations suivantes (après une factorisation appropriée) et indiquer son ensemble de solutions : 1. (4 −3x)(5 + 2x) + (6 −3x)(4 −3x) = 0 2. 7x + 8x2 = 0 3. (6 + 4x)(4 + 7x) −(3 −6x)(4 + 7x) = 0 4. 3(x −1) −2(x −1)2 = 0. EXERCICE 3. Résoudre chacune des équations suivantes (après une factorisation appropriée) et indiquer son ensemble de solutions : 1. 2(9x −6)(4 + x) −(9x −6) = 0 2. (5x −6) −3(5x −6)2 = 0 3. 4(7 + 2x)(6 −x) −5(4 + 3x)(7 + 2x) = 0 4. 6(4 −3x)(4 + 3x) + 2(4 −3x)(9x −10) = 0. EXERCICE 4. Résoudre chacune des équations suivantes (après une factorisation appropriée) et indiquer son ensemble de solutions : 1. −3(2 −x)(8 −2x) = (6 + 4x)(2 −x) 2. 4(2x + 1)2 = 2x + 1 3. (7 −3x)(7 + x) = 5(7 −3x) 4. 2(9x + 3) = (9x + 3)2. ⋆EXERCICE 5. Résoudre chacune des équations suivantes (après une factorisation appropriée) et indiquer son ensemble de solutions : 1. (4 + 3x)(7 −2x) + (2x −7)(4 + 7x) = 0 2. (−5 −2x)(4 + x) −(2x + 5)(2 −4x) = 0 3. (3 + 6x)(4x + 8) + (3 −6x)(1 + 2x) = 0 4. (7 −3x)(4x −6) −(6x −9)(7 −x) = 0. ⋆EXERCICE 6. Résoudre chacune des équations suivantes (après une ou plusieurs factorisations appropriées) et indiquer son ensemble de solutions : 1. 1 −x = 5(x −1)2 2. 4(5x −3) = (10x −6)2 3. (3 + 6x)(4x + 8) + (3 −6x)(1 + 2x) = 0 4. 6x −2x2 = (3 −x)(6 + x). ⋆EXERCICE 7. Résoudre chacune des équations suivantes (après une ou plusieurs factorisations appropriées) et indiquer son ensemble de solutions : 1. 4x(3x + 3) = −10x2 −8x 2. 4x −5x2 = 3(5x + 4)(4 −5x) 3. 7x −4x2 = 7x2 −4x3 4. 8x3 + 4x2 = 3x + 6x2. – 2 – Équations, inéquations et radicaux CUEEP Littoral/GRETA Audomarois 2 Inéquations, intervalles et tableaux de signes En résolvant des problèmes mathématiques, on est souvent amené à travailler avec des inéquations, qui sont des « inégalités à trous », de la même façon qu’on a présenté les équations comme des « égalités à trous ». Par exemple, résoudre l’inéquation 3x + 5 < 8 −2x consiste à déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles l’inégalité est vériﬁée. Pour ce faire, on utilise les mêmes techniques que pour résoudre les équations rencontrées jusqu’ici. 2.1 Symboles de comparaison Outre les symboles = et ̸=, on utilise, pour comparer deux nombres réels, les symboles <, ⩽, > et ⩾: • le symbole < se lit « strictement inférieur » ; écrire « A < B » signiﬁe que le nombre A est plus petit que B ; • le symbole ⩽se lit « inférieur ou égal » ; écrire « A ⩽B » signiﬁe que le nombre A est plus petit que B ou que A est égal à B. Il est donc correct d’écrire 4 < 9 −3 < 0 −7 < −6 ainsi que 4 ⩽9 −3 ⩽0 −7 ⩽−6. En revanche, bien qu’il soit faux de dire que 2 est strictement inférieur à 2, l’inégalité 2 ⩽2 est, elle, tout à fait correcte. De la même façon : • le symbole > se lit « strictement supérieur » ; écrire « A > B » signiﬁe que le nombre A est plus grand que B ; • le symbole ⩾se lit « supérieur ou égal » ; écrire « A ⩾B » signiﬁe que le nombre A est plus grand que B ou que A est égal à B. On peut ainsi écrire 7 ⩾7 ou 7 ⩽7 : les deux inégalités sont correctes. En revanche, les inégalités strictes correspondantes sont toutes deux fausses. Par opposition aux inégalités strictes (qui font intervenir le symbole < ou >), on parle d’inégalités larges lorsque celles-ci font intervenir le symbole ⩽ou ⩾. EXERCICE 8. Vrai ou faux ? 1. 4 ⩾−4 2. −1 ⩾−1 3. − 7 17 > − 8 17 4. −3,6 < −3,7. 5. 143 17 > 143 17 6. 6,009 ⩽6,09 7. −13 ⩾−5 8. −8,32 < −8,32. Il ne faut pas faire conﬁance aveuglément à sa calculatrice, comme le prouve l’exercice suivant. En effet, il faut toujours garder à l’esprit qu’elle ne peut afﬁcher qu’un nombre limité de chiffres à l’écran (en général, une douzaine). Seul un calcul précis permet de déterminer les chiffres qui sont « masqués ». EXERCICE 9. 1. À la calculatrice, effectuer les deux calculs A = 1 + 0,000 000 002 100000 et B = 1 + 0,000000007 100000 . Que peut-on en déduire ? 2. Sans la calculatrice, déterminer le dernier chiffre (non nul) de l’écriture décimale des nombres A et B. Que peut-on en déduire ? – 3 – Équations, inéquations et radicaux CUEEP Littoral/GRETA Audomarois 2.2 Intervalles Déﬁnitions. Si a et b désignent deux nombres réels, avec a ⩽b, on note : • [a ;+∞[ l’ensemble des nombres réels qui sont supérieurs ou égaux à a ; • ]a ;+∞[ l’ensemble des nombres réels qui sont strictement supérieurs à a ; • ]−∞;a] l’ensemble des nombres réels qui sont inférieurs ou égaux à a ; • ]−∞;a[ l’ensemble des nombres réels qui sont strictement inférieurs à a ; • [a ; b] l’ensemble des nombres réels qui sont supérieurs ou égaux à a, mais inférieurs ou égaux à b ; • [a ; b[ l’ensemble des nombres réels qui sont supérieurs ou égaux à a, mais strictement inférieurs à b ; • ]a ; b] l’ensemble des nombres réels qui sont strictement supérieurs à a, mais inférieurs ou égaux à b ; • ]a ; b[ l’ensemble des nombres réels qui sont strictement supérieurs à a, mais strictement inférieurs à b. Ces différents ensembles sont appelés des intervalles. Dans le cas d’intervalles du type ]a ;+∞[, ]−∞;a[ et ]a ; b[ (c’est-à-dire lorsque les crochets sont « tournés vers l’extérieur »), on parle d’intervalles ouverts. Dans le cas d’intervalles du type [a ;+∞[, ]−∞;a] et [a ; b] (lorsque les crochets sont « tournés vers l’intérieur »), on parle d’intervalles fermés. Dans les autres cas (autrement dit, pour ]a ; b] et [a ; b[), on parle d’intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés). La catégorie des intervalles comprend également : - l’ensemble vide (noté ∅) et l’ensemble de tous les nombres réels (noté R, ou encore ]−∞;+∞[) ; ces deux ensembles sont à la fois ouverts et fermés ; - les intervalles réduits à un seul nombre, c’est-à-dire de la forme [a ;a], que l’on note plus communément {a} ; ces ensembles-là sont bien entendu fermés. EXERCICE 10. Vrai ou faux uploads/Litterature/ ma9-calculalgebrique-3-equations-radicaux.pdf