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Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 1 MAGAZINE DE MATHEMATIQUES Profs : ÉQUI

Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 1 MAGAZINE DE MATHEMATIQUES Profs : ÉQUIPE ACADEMIQUE MATHEMATIQUES Henri-Léon Lebesgue (28 juin 1875 à Beauvais - 26 juillet 1941 à Paris) est un mathématicien français. Il est reconnu pour sa théorie d'intégration publiée initialement dans sa dissertation Intégrale, longueur, aire à l'Université de Nancy en 1902. Il fut l'un des grands mathématiciens français de la première moitié du vingtième siècle. Bernhard Riemann (allemand, 1826-1866) Ce très grand mathématicien, élève de Gauss à Göttingen de Jacobi à Königsberg et de Dirichlet à Berlin, fut professeur en la célèbre université de Göttingen, succédant à ce dernier en 1859 (Dirichlet avait lui-même succédé à Gauss quatre ans plus tôt). Riemann mourut prématurément, atteint de tuberculose à Selesca (lac Majeur, Italie) où il se soignai. Primitives Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 2 RESUME DU COURS 1°) Définition Soient f et F deux fonctions définies sur un intervalle I. F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout réel x de I, F'(x) = f (x). Théorème1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Théorème 2 Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle I alors f admet une infinité de fonctions primitives sur I et qui sont toutes de la forme F + c où c désigne une constante réelle arbitraire. C’est-à-dire l’ensemble des primitives de f sur l’intervalle I est F + c ; c  . Théorème 3 Etant donnés un intervalle I, un réel a de I et un réel b. Toute fonction f continue sur I admet une unique fonction primitive F sur I telle que F(a) = b. 2°) Opérations sur les fonctions primitives Théorème 4 Etant donnés deux fonctions continues f et g sur un intervalle I de  et deux réels  et . Si F et G sont respectivement deux fonctions primitives de f et g sur I alors (.F + .G) est une fonction primitive de la fonction (.f + .g) sur I. Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 3 3°) Fonctions primitives des fonctions usuelles I est intervalle de Fonction f définie sur I par Fonctions primitives F de f définies sur I par  x a ; (a   ). x ax c ; (c ).  x x 2 1 x x c 2 ; (c ).  n x x ; (n ) n 1 1 x x c n 1   ; (c ). * 2 1 x x 1 x c x  ; (c ). * n x x ; (n \-1) n 1 1 x x c n 1   ; (c ). *+ 1 x x x 2 x c ; (c ). + x x 2 x x x c 3 ; (c ).  x cos x x sin x+ c ; (c ).  x sin x x cosx  + c ; (c ).  \ k , k 2    2 1 x cos x x tgx c  ; (c ).  \k , k    x 2 1 sin x x cotgx c   ; (c ).  x cos(ax+b) (a  * et b ). 1 x sin(ax b) a  + c ; (c ).  x sin(ax+b) ; (a  * et b ). 1 x cos(ax b) a   + c ; (c ). Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » 4  \x  tel que ax+b = k , k 2    x 1+tan2(ax+b) ; (a  * et b ). 1 x tan(ax b) c a   ; (c ).  \x  tel que ax+b = k ; k    x (1+cotan2(ax+b)) (a  * et b ). 1 x cotan(ax b) c a    ; (c ). 4°) Fonctions primitives des fonctions usuelles I est un intervalle de  tel que : Fonction f Fonctions primitives F de f sur I u et v deux fonctions dérivables sur I. u’+ v ’ u + v + c ; (c ). u une fonction dérivable sur I. au’ ; a réel. au + c ; (c ). u et v deux fonctions dérivables sur I. u’.v + v ’.u (uv) + c ; (c ). u une fonction dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I. u’.u n ; n  \-1 1 n 1 u n+1 + c ; (c ). u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I. ' 2 u u 1 u + c ; (c ). u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur I.  ' n u ; n 1 u  n 1 1 (n 1)u    + c ; (c ). u une fonction dérivable et strictement positive sur I. u ' u 2 u c  ; (c ). u une fonction dérivable et positive sur I. u' u 2 u u c 3  ; (c ). u et v deux fonctions dérivables sur I et v ne s’annulant pas sur I. 2 u'.v v'.u v  u v + c ; (c ). u et v deux fonctions telles que vu soit dérivable sur I. ( v ’ u ).u’ (v  u) + c ; (c ). Magazine de mathématiques Profs : Équipe académique Mathématiques Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » Section : Toute les sections Thème abordé : PRIMITIVES Durée : 3 h 42 mn Date : 31 - 12 - 2015 5 a) Déterminer l’ensemble de définition de f telle que 2 2 2 2 ( ) ( 1) x x f x x x     . b) Déterminer a et b pour que f admette une primitive F telle que 2 ( ) 1 ax b F x x x     . Soit 3 4 1 ( ) (2 1) x f x x    a) Déterminer les réels a et b tels que : pour tout x  Df, 2 3 ( ) (2 1) (2 1) a b f x x x     b) Déterminer toutes les primitives de f sur 1; 2         . Soit la fonction 1 ( ) ( 1) 2 1 f x x x    1°) Déterminer D l’ensemble de définition de f , puis montrer que pour tout x de D on a : ( ) 2 1 2 1 b f x a x x     , avec a et b deux réels à déterminer. 2°) Déterminer les primitives de f sur 1; 2         . EXERCICE N°1 : 5' 2points facile EXERCICE N°2 : 5' 2points facile EXERCICE N°3 : 7' 2points facile Magazine de mathématiques Profs : Équipe académique Mathématiques Takiacademy.com « Jamais Plus Simple » Section : Toute les sections Thème abordé : PRIMITIVES Durée : 3 h 42 mn Date : 31 - 12 - 2015 6 Soit 1 ( ) (1 ) f x x x   . 1°) Montrer que f admet des primitives sur  0;1 . 2°) Soit F la primitive de f sur qui s`annule pour x = 3 4 et g la fonction définie sur 0; 2        par ( ) (cos² ) g x F x  . a) Montrer g est dérivable sur 0; 2        puis calculer g´. b) Montrer que pour tout x de 0; 2        on a : ( ) 2 3 g x x    . Soit f la fonction définie sur   0,par : 2 1 ( ) 1 f x x   et F la primitive de f sur   0, qui s’annule en zéro. 1°) Soit H la fonction définie sur 0, 2        par ( ) (tan ) H x F x  . a) Montrer que H est dérivable sur 0, 2        et déterminer  ' H x . b) En déduire que pour tout 0, : ( ) 2 x H x x          . c) Calculer alors F (1). 2°) Soit G la fonction définie sur   0,par : 1 ( ) 1 2 x G x F F x x                 . a) Montrer que G est dérivable sur  0,, et déterminer  ' G x . b) En déduire que : 1 1 2 3 4 F F  uploads/Litterature/ magazine-taki-academy-primitive-finale.pdf