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Chapitre 5 Fonctions usuelles Sommaire I Fonctions circulaires - Inversions . .

Chapitre 5 Fonctions usuelles Sommaire I Fonctions circulaires - Inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1) Fonctions circulaires : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2) Inversion des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 II Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1) Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2) La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1) Puissance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2) Croissance comparée de ces fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 IV Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2) Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 V Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I FONCTIONS CIRCULAIRES - INVERSIONS 1) Fonctions circulaires : rappels Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (O,− → u ,− → v ). Soit x un réel, et M(x) le point du cercle trigonométrique tel que (− → u ,− − → OM ) = x (mod 2π) alors les coordonnées de M(x) sont (cos(x),sin(x)), lorsque x ∈R\ © π 2 +kπ | k ∈Z ª , on pose tan(x) = sin(x) cos(x) . 0 0 x sin(x) M A cos(x) O tan(x) Remarque 5.1 – Le réel x représente également la longueur de l’arc de cercle ⌢ AM avec A(1,0), le cercle étant orienté dans le sens direct. Quelques propriétés : – ∀x ∈R,cos2(x)+sin2(x) = 1. – Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques déﬁnies continues dérivables sur R, à valeurs dans [−1;1], et on a sin′ = cos et cos′ = −sin. MPSI3 (2018-19) LYCÉE MONTAIGNE – 44 – ©Fradin Patrick – Fonctions circulaires - Inversions Chapitre 5 : Fonctions usuelles – La fonction tangente est π-périodique, déﬁnie continue dérivable sur R \ { π 2 + kπ | k ∈Z} et on a tan′(x) = 1+tan2(x) = 1 cos2(x). – Les fonctions sinus et tangente sont impaires alors que la fonction cosinus est paire. Si u est une fonction dérivable alors sin(u) et cos(u) sont dérivables avec les formules : [sin(u)]′ = u′ cos(u) et [cos(u)]′ = −u′ sin(u) Si de plus la fonction cos(u)) ne s’annule pas, alors la fonction tan(u) est dérivable et : [tan(u)]′ = u′(1+tan2(u)) = u′ cos2(u) À retenir 0 1 −1 0 π 2 π −π 2 −π Csin 0 1 −1 0 π 2 π −π 2 −π Ccos 0 0 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 −5 π 2 −π 2 Ctan – On a les relations sin(π+ x) = −sin(x) et cos(π+ x) = −cos(x). – On a les valeurs remarquables : x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sin(x) 0 1 2 p 2 2 p 3 2 1 cos(x) 1 p 3 2 p 2 2 1 2 0 tan(x) 0 1 p 3 1 p 3 , comme sin(π −x) = sin(x) et cos(π −x) = −cos(x), on peut compléter le tableau avec les valeurs 2π 3 , 3π 4 , 5π 6 et π, la parité permet ensuite d’avoir un tableau de −π à π. – Formules d’addition : ∀x, y ∈R on a : • cos(x + y) = cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y). En particulier, cos(2x) = 2cos2(x)−1 = 1−2sin2(x). • sin(x + y) = sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y). En particilier, sin(2x) = 2sin(x)cos(x). • tan(x + y) = tan(x)+tan(y) 1−tan(x)tan(y). En particulier, tan(2x) = 2tan(x) 1−tan2(x). • En posant u = tan( x 2), on a sin(x) = 2u 1+u2 et cos(x) = 1−u2 1+u2 . ⋆Exercice 5.1 1/ Montrer que ∀x ∈R,|sin(x)| ⩽|x|, 0 ⩽1−cos(x) ⩽x2 2 . 2/ Montrer que ∀x ∈]−π 2 ; π 2 [, |tan(x)| ⩾|x|. 2) Inversion des fonctions circulaires La fonction arcsin La fonction f : [−π 2 ; π 2 ] →[−1;1] déﬁnie par f (x) = sin(x) est continue et strictement croissante sur I = [−π 2 ; π 2 ], elle réalise donc une bijection entre I et f (I) = J = [sin(−π 2 );sin( π 2 )] = [−1;1]. La bijection réciproque est notée f −1 = arcsin [arcsinus], elle est déﬁnie par : arcsin: [−1;1] → [−π 2 ; π 2 ] x 7→ arcsin(x) = y tel que ½ y ∈[−π 2 ; π 2 ] sin(y) = x . ZExemple : arcsin(−1) = −π 2 , arcsin(1) = π 2 , arcsin(0) = 0, arcsin( 1 2) = π 6 , ... La fonction f étant strictement croissante et continue sur I, la fonction f −1 = arcsin est strictement croissante et continue sur [−1;1]; f est dérivable sur I et sa dérivée s’annule en −π 2 et π 2 , mais pas sur MPSI3 (2018-19) LYCÉE MONTAIGNE – 45 – ©Fradin Patrick – Fonctions circulaires - Inversions Chapitre 5 : Fonctions usuelles l’intervalle ouvert, la réciproque est donc dérivable sur ]−1;1[ mais pas en −1 ni en 1 [tangente verticale en ces points], on a la formule suivante : ∀x ∈]−1;1[,arcsin′(x) = 1 cos(arcsin(x)) = 1 p 1−x2 . Car : cos2(arcsin(x))+sin2(arcsin(x)) = 1, c’est à dire cos2(arcsin(x))+ x2 = 1 d’où cos(arcsin(x)) = ± p 1−x2, mais ce cosinus est positif car arcsin(x) ∈[−π 2 ; π 2 ], donc cos(arcsin(x)) = p 1−x2. Si u est une fonction dérivable à valeurs dans ]−1;1[ alors la fonction arcsin(u) est dérivable et : [arcsin(u)]′ = u′ p 1−u2 À retenir x −1 0 +1 arcsin −π 2 + π 2 0 0 0 Csin 1 −1 π 2 −π 2 1 −1 π 2 −π 2 Carcsin Propriétés : – ∀x ∈[−1;1],sin(arcsin(x)) = x. – ∀x ∈[−π 2 ; π 2 ],arcsin(sin(x)) = x. – ∀x ∈[−1;1],arcsin(−x) = −arcsin(x) [fonction impaire]. – ∀x ∈[−1;1],cos(arcsin(x)) = p 1−x2. – ∀x ∈[−π;π],arcsin(cos(x)) = π 2 −|x|. La fonction f : x 7→arcsin(sin(x)) n’est pas l’identité, elle est 2π- périodique et impaire, il sufﬁt donc l’étudier sur [0;π], mais elle vériﬁe f (π−x) = f (x), la droite x = π 2 est donc un axe de symétrie et l’étude se réduit à [0; π 2 ], intervalle sur lequel f (x) = x. Attention! La fonction arccos La fonction f : [0;π] →[−1;1] déﬁnie par f (x) = cos(x), est continue et strictement décroissante, elle déﬁnit donc une bijection entre [0;π] et f ([0;π]) = [f (π); f (0)] = [−1;1]. Par déﬁnition, la bijection réciproque est notée f −1 = arccos [arccosinus], elle est déﬁnie par : arccos: [−1;1] → [0;π] x 7→ arccos(x) = uploads/Litterature/ fonctions-usuelles-cours-2.pdf