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L3 M´ etiers de l’enseignement – Math´ ematiques Nicolas Prudhon Notes de cours

L3 M´ etiers de l’enseignement – Math´ ematiques Nicolas Prudhon Notes de cours/TD 1 Avant-propos Voici le cours et les exercices, examens inclus, de l’enseignement de math´ ematiques des licences L3, M´ etiers de l’enseignement, UFR SciFa. Le cours et les exercices ont une dur´ ee totale de 48h. Il a ´ et´ e compil´ e ` a partir de documents pr´ e-existants, notamment les feuilles de TD et les examens. La partie sur le cours est ` a peine ´ ebauch´ ee, et s’´ eloigne parfois consid´ erablement du cours tel qu’il a ´ et´ e donn´ e. Il est cependant dans le mˆ eme esprit que le cours : faire et faire d´ ecouvrir des math´ ematiques int´ eressantes, belles, et utiles, tout en ne d´ eveloppant que le minimum d’outils conceptuels, et en montrant ` a travers les aspects historiques de probl` emes c´ el` ebres comment la fa¸ con que l’on a de faire et d’´ ecrire des math´ ematiques ´ evolue au ﬁl des si` ecles, tˆ atonnement ` a l’image de celle des ´ el` eves que vous rencontrerez au cours de votre carri` ere d’institurice ou d’instituteur. Ce document peut ˆ etre et sera modiﬁ´ e et, je l’esp` ere, am´ elior´ e au ﬁl du temps, lui aussi. 1 La quatri` eme fois que j’ai donn´ e ce cours (en 2010-2011), et, alors elle s’ach` evait d´ ej` a, j’ai trouv´ e ` a la bilioth` eque du Saulcy (Cote [510 PER]), un ouvrage de Daniel Perrin, ”math´ ematiques d’´ ecole, nombres mesures et geometrie” aux ´ editions Cassini, ´ ecrit par l’au- teur pour un cours suivant le mˆ eme objectif que ceui-ci, et selon un plan, dans sa structure et pour de nombreux d´ eveloppements, identique ` a ce texte. Le (futur) enseignant s’y reportera, ce livre ´ etant de toute ´ evidence d’une grande sagesse math´ ematique et didactique. En parti- culier, comme le titre l’indique, le lien entre les nombres et la g´ eom´ etrie, est fait au moyen de la notion de grandeur (longueurs, aires, angles, volumes) en la distinguant d´ eﬁnitivement de celle de mesure de grandeur. Cet aspect, fondamental, est presque absent de l’enseignement que je donne, n’apparaˆ ıt pas dans le texte ici (c’est ` a rem´ edier), et n’est apparu lors des s´ eances, que pour la distinction entre la notion d’angle et de sa mesure, entre celle d’aire et de surface, celle de volume et de sa mesure, mais n’est pas developp´ e ` a part enti` ere. Dans le livre de D. Perrin, on trouvera une discussion passionnante de la notion de grandeur ; de plus la grandeur ’aire’ est en particulier approfondie de mani` ere ` a inviter l’instituteur ` a une reﬂexion rigoureuse sur l’enseignement pratique de cette notion. 1. Derni` ere compilation le 13 septembre 2012 2 Table des mati` eres 1 Cours 4 1.1 Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Arithm´ etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 G´ eom´ etrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 G´ eom´ etrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Exercices 31 2.1 Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Arithm´ etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 G´ eom´ etrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 G´ eom´ etrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Examens 39 3.1 D´ ecembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Janvier 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Octobre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Janvier 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5 Novembre 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Janvier 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.7 Novembre 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.8 Janvier 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.9 Novembre 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.10 Janvier 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 1 Cours 1.1 Nombres 1.1.1 Qu’est-ce qu’un nombre ? Les ensembles classiques de nombres sont les suivants : N ensemble des entiers naturels. 0, 1, 2, 3,. . . D ensembles des nombres d´ ecimaux. Ces nombres sont ceux qui n’ont qu’un nombre ﬁni de chiﬀres apr` es la virgule. Par exemple, 0.1, 14.18 ou 777.7 sont des nombres d´ ecimaux. Z ensembles des entiers relatifs (ou entiers rationnels). Ces nombres sont entiers, mais peuvent ˆ etre n´ egatifs. Par exemple, 0, 1, 2 mais aussi −1, −2 ou −36 sont des entiers relatifs. Z[ 1 10] : ensembles des d´ ecimaux relatifs. Ces nombres sont aux nombres d´ ecimaux ce-que les les nombres entiers relatifs sont aux entiers naturels. Q ensembles des nombres rationnels. Ce sont les classes d’´ ecritures p q, avec p, q ∈Z, q ̸= 0. Si pq′ = p′q, les ´ ecritures p q et p′ q′ d´ esignent le mˆ eme nombre rationnel. Pour cette raison, on pense en g´ en´ eral ` a un nombre rationnel p q comme au r´ esultat de la division de p par q (sachant que celle-ci ne se termine pas n´ ecessairement). R ensemble des nombres r´ eels. On peut se repr´ esenter mentalement cet ensemble de deux mani` ere : Repr´ esentation alg´ ebrique. Un nombre r´ eel est un nombre ` a virgule, avec ´ eventuellement une inﬁnit´ e de chiﬀres apr` es la virgule, cette suite de chiﬀres n’ob´ e¨ ıssant pas n´ eces- sairement ` a une r` egle simple. Repr´ esentation g´ eom´ etrique. Les nombres r´ eels sont les points d’une droite, sur laquelle sont ﬁx´ ees une origine et une unit´ e. Nous avons les relations suivantes uploads/Litterature/ math-l3me.pdf