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http://al9ahira.com/ Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria page de garde المملكة المغربية ROYAUME DU MAROC Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres Présidence du Concours National Commun École Mohammadia d'Ingénieurs CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission dans les Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés Session 2014 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Filière MP Durée 4 heures Cette épreuve comporte 04 pages au format A4, en plus de cette page de garde L'usage de calculatrice n’est pas autorisé Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la ﬁlière MP, comporte 4 pages. L’usage de la calculatrice est interdit. Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précisions les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé d’un exercice et d’un problème indépendants entre eux. Exercice On considère la fonction de deux variables F : [0, 1]2 →R déﬁnie par : F(1, 1) = 0 et F(x, y) = xy(1 −x)(1 −y) (1 −xy) si (x, y) ̸= (1, 1). 1. Montrer que, pour tout (x, y) ∈[0, 1]2, (1 −x)(1 −y) ⩽(1 −√xy)2. 2. Montrer que F est continue sur [0, 1]2. 3. En déduire que F est bornée sur [0, 1]2 et atteint ses bornes. 4. Déterminer la borne inférieure de F sur [0, 1]2 ; en quels points de [0, 1]2 cette borne est-elle atteinte ? 5. Justiﬁer que F est de classe C1 sur l’ouvert ]0, 1[2 et calculer ses dérivées partielles premières. 6. Montrer que F admet un unique point critique (x0, y0) dans l’ouvert ]0, 1[2 et le préciser. 7. Calculer F(x0, y0) et justiﬁer que F(x0, y0) = sup (x,y)∈[0,1]2F(x, y). Al9ahira Problème À propos de l’unimodularité des zéros d’un polynôme auto-inverse On note U le cercle unité du plan complexe C, c’est-à-dire U = {z ∈C ; |z| = 1}. On rappelle que l’application γ : [0, 2π] →C, t 7→eit est un paramétrage de U, avec 1 pour seul point multiple (double). Si Ωest un ouvert de C contenant U et f : Ω→C une fonction continue, on déﬁnit l’intégrale curviligne de f sur l’arc paramétré ([0, 2π], γ) par : Z γ f(z)dz = Z 2π 0 f(γ(t))γ′(t)dt. 1ère Partie Résultats préliminaires 1.1. Rappeler le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction z 7→ 1 1 −z , déﬁnie sur C \ {1}, et préciser le rayon de convergence de cette série entière. 1.2. Montrer que, pour tout complexe β de module |β| < 1 et tour réel t, on a : eit eit −β = +∞ X m=0 βm e−imt . 1.3. Montrer que, pour tout complexe β de module |β| > 1 et tour réel t, on a : eit eit −β = −eit β +∞ X m=0 β−m eimt . Épreuve de Mathématiques I 1/4 http: // al9ahira. com/ Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP 1.4. Soit β un nombre complexe de module diﬀérent de 1 et soit f la fonction déﬁnie sur C \ {β} par f(z) = 1 z −β . Montrer, en justiﬁant soigneusement votre réponse, que Z γ f(z)dz = ( 2iπ si |β| < 1, 0 si |β| > 1. 1.5. Un résultat de convexité : Le disque unité fermé de C est strictement convexe. Montrer que si v et w sont des complexes distincts et de module 1, et si λ et µ sont des réels strictement positifs de somme 1, alors |λv + µw| < 1. Dans la suite on admet que, pour tout entier n ⩾2, si u1, ..., un sont des éléments deux à deux distincts de U et si λ1, ..., λn sont des réels strictement positifs de somme 1, alors n X k=1 λkuk < 1. Al9ahira 2ème Partie Deux résultats de localisation des racines d’un polynôme Dans cette partie, P désigne un polynôme non constant à coeﬃcients complexes. On note z1, ..., zr (r ⩾1) les racines de P dans C et, pour tout k ∈{1, ..., r}, on note αk l’ordre de multiplicité de la racine zk de P. Ainsi, on notant a le coeﬃcient dominant de P, on obtient P = a r Y k=1 (X −zk)αk. 2.1. Montrer que, pour tout z ∈C \ {z1, ..., zr}, P ′(z) P(z) = r X k=1 αk z −zk , où P ′ est le polynôme dérivé de P. 2.2. On suppose que ω ∈C est une racine de P ′ qui n’est pas racine de P. 2.2.1. Montrer que r X k=1 αk(ω −zk) |ω −zk|2 = 0. 2.2.2. En déduire qu’il existe des réels β1, ..., βr, strictement positifs de somme 1, tels que ω = r X k=1 βkzk. Ceci signiﬁe que ω est barycentre, à coeﬃcients tous strictement positifs, des racines de P. 2.3. Montrer que toute racine de P ′ est barycentre à coeﬃcients positifs des racines de P. 2.4. On suppose ici que P ne s’annule pas sur le cercle unité U, ce qui veut dire que U ∩{z1, ..., zr} = ∅. 2.4.1. Justiﬁer que l’ensemble C \ {z1, ..., zr} est un ouvert de C contenant le cercle unité U et que la fonction z 7→P ′(z) P(z) , déﬁnie sur C \ {z1, ..., zr}, est continue. 2.4.2. Montrer que 1 2iπ Z γ P ′(z) P(z) dz est égal au nombre de racines de P dont le module est strictement inférieur à 1, comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. 3ème Partie Une condition suﬃsante d’unimodularité des zéros d’un polynôme auto-inverse Un polynôme à coeﬃcients complexes P = d X k=0 akXk, de degré d ∈N∗, est dit auto-inverse quand il existe un nombre complexe ε ̸= 0 (dit paramètre) vériﬁant ak = ε ad−k, pour tout k ∈{0, ..., d}. Si q ∈N et Q = q X k=0 bkXk ∈C[X], on pose Q = q X k=0 bkXk. Q est ainsi le polynôme de C[X] obtenu en conjuguant tous les coeﬃcients de Q ; en particulier Q(z) = Q(z) pour tout z ∈C. Épreuve de Mathématiques I 2/4 http: // al9ahira. com/ Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP 3.1. Montrer que, pour tout entier n ⩾2, le polynôme Sn = 2n X k=0 (k −n)Xk est auto-inverse. 3.2. Soit P = d X k=0 akXk un polynôme à coeﬃcients complexes de degré d ∈N∗et soit ε ∈C∗. 3.2.1. Montrer que si P est auto-inverse de paramètre ε, alors |ε| = 1 et P(0) ̸= 0. 3.2.2. Montrer que P est auto-inverse de paramètre ε si, et seulement si, P(z) = εzd P(1/z), z ∈C∗. (1) 3.3. Soient P, Q ∈C[X] ; vériﬁer que P + Q = P + Q et PQ = P Q. 3.4. Soient P ∈C[X] un polynôme de degré d ∈N∗et µ ∈C un complexe de module 1. On note Pµ ∈C[X] le polynôme déﬁni par Pµ(z) = P(µz), z ∈C. 3.4.1. Montrer que si P est auto-inverse alors (X −1)P l’est aussi. 3.4.2. Montrer que si P est auto-inverse alors Pµ l’est aussi. 3.4.3. Montrer que si toutes les racines de P sont de module 1, alors P est auto-inverse. 3.4.4. Donner un exemple de polynôme auto-inverse de degré 2 ayant une racine de module ̸= 1. Al9ahira 3.5. Soient ε un nombre complexe de module 1 et Q ∈C[X] un polynôme de degré n ∈N∗; si d est un entier > n, on note R le polynôme déﬁni par R(z) = zd−nQ(z) + ε zn Q(1/z), z ∈C∗. (2) Préciser le degré de R et montrer qu’il est auto-inverse. On note ad le coeﬃcient dominant de R. 3.6. On reprend les hypothèses de la question 3.5. précédente et on suppose que les racines de Q sont toutes de module < 1. On note Q1 et Q2 les polynômes complexes déﬁnis par Q1(z) = zd−nQ(z), Q2(z) = εzn Q(1/z), z ∈C∗ 3.6.1. Montrer que, pour tout z ∈U, |Q1(z)| = |Q2(z)|. 3.6.2. Montrer que, pour tout réel λ ∈[0, 1[, le polynôme Rλ = Q1 + λQ2 ne s’annule pas sur U. On considère l’application λ 7→ 1 2iπ Z γ Q′ 1(z) + λQ′ 2(z) Q1(z) + λQ2(z)dz, déﬁnie sur l’intervalle [0, 1[. 3.6.3. Montrer que cette application est continue sur l’intervalle [0, 1[ et qu’elle est à valeurs entières. 3.6.4. En déduire que l’application précédente est constante sur l’intervalle [0, 1[. 3.6.5. Montrer alors que, pour tout λ ∈[0, 1[, les racines de Rλ sont toutes de module < 1. 3.7. On reprend les uploads/Litterature/ math1-mp-2014e.pdf