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MIT 2002-2003 Introduction aux signaux aléatoires (JJ Bellanger) 1/14 ANALYSE D

MIT 2002-2003 Introduction aux signaux aléatoires (JJ Bellanger) 1/14 ANALYSE DE SIGNAUX ALEATOIRES POUR LE TRAITEMENT DU SIGNAL Les notes qui suivent portent sur les signaux dépendant d’une variable monodimensionnelle. Il faut cependant insister sur le fait que, formellement, ces résultats sont exactement les mêmes quand on les développe pour les signaux d’une variable bidimensionnelle ou même tridimensionnelle, les transformées de Fourier, produits de convolution, fonctions d’inter et autocorrélations étant à prendre alors au sens 2D où 3D. I-SIGNAUX ALEATOIRES EN TEMPS CONTINU 1.Définition : Un SA X en temps continu correspond à une famille de variables aléatoires (VA) R t t X ∈ ), ( . Les VA ) (n X seront considérées comme pouvant être à valeurs dans R ou dans C . Commentaires : - à t fixé on est amené à considérer la loi de probabilité et les moments de la VA ) (t X . - à 1 t et 2 t fixés on est amené à considérer la loi de probabilité conjointe (bidimensionelle) et les moments conjoints de la paire de VA )) ( ), ( ( 2 1 t X t X , en particulier leur coefficient de corrélation - à 1 2 3 , , t t t fixés …. - A Ω ∈ ω fixé la fonction R t t X t X ∈ = ), )( ( ) ( ω ω se ramène à un signal déterministe en temps continu à valeurs réelles ou complexes et est appelée réalisation ω X de . X 2.Moyenne d’un SA X : C’est la fonction R t t X E t mX ∈ = )), ( ( ) ( . Si ) (t mX prend une même valeur m pour tout t on dit que la suite X m est stationnaire ou encore que X est de moyenne stationnaire. 3.SA C X associé à un SA X : c’est le SA R t t m t X t X X C ∈ − = ), ( ) ( ) ( . 4.Covariance d’un SA X : c’est la fonction de 2variables : 2 2 1 2 * 1 2 1 ) , ( )), ( ) ( ( ) , ( R t t t X t X E t t C X ∈ ⋅ = Si ) , ( 2 1 t t CX ne dépend que de la différence 2 1 t t − on dit que la covariance est stationnaire et on introduit alors la fonction de corrélation : ) , ( ) ( τ τ − = Γ t t CX X . 4.Covariance centrée et corrélation centrée d’un SA X : MIT 2002-2003 Introduction aux signaux aléatoires (JJ Bellanger) 2/14 Ce sont les quantités obtenues en remplaçant dans la définition de la covariance et de la fonction de corrélation X par C X . On note ces quantités C X C et C X Γ . 5.Puissance statistique moyenne d’un SA X : C’est par définition la valeur quadratique moyenne (moyenne étant prise au sens statistique) de ( ) X t à l’instant t : 2 ( )( ) ( ( ) ) ( , ), X PSM X t E X t C t t t R = = ∈ . Si la covariance est stationnaire cette quantité est évidemment constante au cours du temps. 6.DSP (densité spectrale de puissance) d’un SA X : Dans le cas où sa covariance est stationnaire la DSP du SA X, notée X γ , est définie comme étant égale à la transformée de Fourier de la fonction X Γ : R f d e f if X X ∈ Γ = ∫ − , ) ( ) ( 2 τ τ γ τ π Remarque : La transformation de Fourier peut être prise si nécessaire au sens des distributions On en déduit immédiatement que : (0) ( ) ( ) X X R PSM X f df γ Γ = = ∫ Remarque : Il est cohérent physiquement que X γ soit appelée densité spectrale de puissance car en l’intégrant par rapport à f on obtient la puissance statistique moyenne. Si ( ) X t s’exprime en Volts la DSP s’exprime donc en Volts par Hertz 7.Théorème de Wiener-Kintchine, Interprétation de la DSP : Considérons le signal aléatoire à support borné : ) ( ) ( t X t XT = si T t ≤ ≤ 0 et =0 sinon. La VA ∫ = = T t t dt t X T 0 2 ) ( 1 correspond à la puissance moyenne (moyenne étant entendue ici comme moyenne temporelle et non pas comme espérance mathématique) du signal X sur l’intervalle ] , 0 [ T . Elle peut s’écrire, en utilisant la relation de Parseval : df f X T T 2 ) ( ˆ 1 ∫ où l’intégrande 2 ) ( ˆ 1 f X T (qui à f fixé est une VA) est appelé périodogramme et est noté ) ( f PT X . On a ainsi, de fait, introduit une fonction aléatoire (qui dépend de f au lieu de t ) : ) , ( ) , ( : f P f R R P T X N X ω ω → → × Ω + MIT 2002-2003 Introduction aux signaux aléatoires (JJ Bellanger) 3/14 qui s’interprète comme la densité spectrale de puissance (aléatoire du fait de la dépendance en ω ) de la restriction du signal X à l’intervalle [0, ] T . Théorème (Wiener-Kintchine) : Dans la mesure où l’une des limites suivantes existe (l’existence de l’une impliquant l’existence de l’autre) on montre que : R dt t t C T C R f f P E T T t X T X TF T X N ∈ − = ↔ ∈ ∫ = ∞ → ∞ → τ τ τ , ) , ( 1 lim ) ( , )) ( ( 1 lim 0 Si la covariance de X est stationnaire alors ) ( ) ( τ τ X X C Γ = et )) ( ( 1 lim f P E T T X N ∞ → coïncide avec ) ( f X γ définie plus haut. Si la covariance n’est pas stationnaire mais que sa moyenne temporelle R dt t t C T C T t X T X ∈ − = ∫ = ∞ → τ τ τ , ) , ( 1 lim ) ( 0 existe la transformée de Fourier de cette dernière est prise comme étant égale par définition à la densité spectrale de puissance. Ceci permet d’élargir le champ de la première définition à des signaux pour lesquels par exemple ) , ( τ − t t CX est périodique en t . Ces derniers interviennent couramment dans la modélisation de signaux du type modulations numériques et sont appelés signaux de covariance cyclostationnaire. 8.Etude simultanée de deux signaux aléatoires en temps continu On généralise de manière évidente les notions de loi de probabilité, de moyenne, de fonction covariance et de fonction de corrélation introduites pour un signal aléatoire à valeurs réelles ou complexes à une paire de signaux aléatoires (et d’ailleurs à un nombre arbitraire mais on se limite ici à 2) également à valeurs réelles ou complexes. On introduit en particulier à l’ordre 2 pour deux SA X et Y (définis sur le même espace probabilisé) : Fonction de covariance croisée non centrée entre X et Y : * 2 , 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ( ) ( )),( , ) X Y C t t E X t Y t t t R = ∈ Fonction de covariance croisée centrée entre X et Y : * 2 , 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ( ) ( )),( , ) C C X Y C C C t t E X t Y t t t R = ∈ Fonctions de covariance moyennées croisées non centrée et centrée entre X et Y : , , 0 1 ( ) lim ( , ) , T X Y T X Y t C C t t dt R T τ τ τ →∞ = = − ∈ ∫ , , 0 1 ( ) lim ( , ) , C C C C T X Y T X Y t C C t t dt R T τ τ τ →∞ = = − ∈ ∫ (quand les limites existent) MIT 2002-2003 Introduction aux signaux aléatoires (JJ Bellanger) 4/14 Densités spectrale de puissance croisées entre X et Y (non centrée et centrée): Ce sont par définition et respectivement les quantités : R f d e f if Y X Y X ∈ Γ = ∫ − , ) ( ) ( 2 , , τ τ γ τ π R f d e f if Y X Y X C C C C ∈ Γ = ∫ − , ) ( ) ( 2 , uploads/Litterature/ cours-mit2-ts.pdf